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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:06 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AriR |
hey leute,
Ich weiß gerade nicht ob ich ein Brett vorm Kopf habe oder was auch immer :)
Meine Frage ist, wie man die kommutativität der herkömmlichen Multiplikation in [mm] \IN [/mm] (oder vllt auch [mm] \IR) [/mm] beweist.
Meine erste Frage: Wie ist die Multiplikation überhaupt genau definiert?
Ich gehe in [mm] \IN [/mm] einfach mal davon aus, dass x*y := [mm] \summe^x_{i=1}y [/mm] ist.
Demnach wäre für den Beweis der kommutativität der Multiplikation in [mm] \IN [/mm] zu zeigen, dass:
x*y = [mm] \summe^x_{i=1}y [/mm] = [mm] \summe^y_{i=1}x [/mm] =y*x
Ich wüsste jetzt aber nicht wie genau man das machen müsste auf solch elementarer Ebene.
Wie geht man das ganze überhaupt in [mm] \IR [/mm] an? Ich würde schon bei der Definition der Multiplikation scheitern :(
gruß :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
in [mm] \IN [/mm] ist die Multiplikation rekursiv definiert :
a*1 = a und a*b' = a*b + a,
dabei ist in den sog. Peano-Axiomen für natürliche Zahlen erklärt, was 1 und was b' (Nachfolger von b) bedeutet und warum das oben eine allgemeine Definition der Multiplikation ist.
Diese Definition der Multiplikation setzt natürlich die Kenntnis der Addition voraus, die vorher ebenfalls rekursiv definiert wird.
Die Gültigkeit des Kommutativgesetzes (und der anderen Rechengesetze für + und *) wird dann mit Hilfe vollständiger Induktion (ebenfalls Teil der Peano-Axiome) bewiesen.
Bei jeder Zahlbereichserweiterung von [mm] \IN [/mm] zu [mm] \IZ [/mm] zu [mm] \IQ [/mm] zu [mm] \IR [/mm] und zu [mm] \IC [/mm] wird dann die Gültigkeit der Gesetze aufgrund der Definition der Erweiterung bewiesen.
Gruß Sax.
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