kompakt:d1 und d2-offen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Di 19.07.2005 | | Autor: | espa |
Guten Tag!
Mit folgender Aufgabe habe ich meine Probleme.
Auf einer Menge X seien zwei Metriken d1 und d2 gegeben, so dass (X,d1) und (X,d2) kompakt sind. Nun soll ich zeigen, dass, falls jede d1-offene Teilmenge von X auch d2-offen ist, dann auch jede d2-offene Teilmenge d1-offen ist.
Aber wie mache ich das denn?
Leider habe ich keinerlei Lösungsansatz und wäre eshalb für Hilfe ihrerseits sehr empfänglich.
Mit freundlichen Grüßen, Ihre espa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Di 19.07.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo espa!
> Auf einer Menge X seien zwei Metriken d1 und d2 gegeben, so
> dass (X,d1) und (X,d2) kompakt sind. Nun soll ich zeigen,
> dass, falls jede d1-offene Teilmenge von X auch d2-offen
> ist, dann auch jede d2-offene Teilmenge d1-offen ist.
>
> Aber wie mache ich das denn?
Hier eine kleine Hilfe:
Sei [mm]M \subseteq X[/mm] d2-offen
[mm] \Rightarrow M^{c} [/mm] d2-abgeschlossen
[mm] \Rightarrow M^{c} [/mm] d2-kompakt
Zeige nun, dass [mm] M^{c} [/mm] d1-kompakt:
Sei [mm](U_{i})_{i \in I}[/mm] d1-offene Überdeckung von [mm] M^{c}
[/mm]
[mm] \Rightarrow[/mm] [mm](U_{i})_{i \in I}[/mm] d2-offene Überdeckung von [mm] M^{c}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Existenz einer endlichen Teilüberdeckung
Also ist [mm] M^{c} [/mm] d1-kompakt.
[mm] \Rightarrow M^{c} [/mm] d1-abgeschlossen
[mm] \Rightarrow [/mm] M d1-offen
Gruß Clemens
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