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| Aufgabe | Sei K [mm] \subset \IR^{n} [/mm] kompakt und nicht leer, n [mm] \in \IN [/mm] und die Funktion r:K [mm] \mapsto \IR_{+} [/mm] stetig. Zeigen Sie, dass dann auch die Menge
[mm] K_{r} [/mm] := {x [mm] \in \IR^{n} [/mm] : [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] K mit |y - x| [mm] \le [/mm] r(y)}
kompakt ist. |
Hallo,
meine Frage zu obiger Aufgabe ist im wesentlichen das Vorgehen. Ich weiß wann eine Menge kompakt ist (beschränkt und abgeschlossen), bin mir aber nicht im klaren darüber, wie das hier anzuwenden ist.
Mit meinem laienhaften Verständnis denke ich mir, dass die Beschränktheit gegeben ist, da y aus einer kompakten Menge kommt, sodass dadurch r(y) auch eine Schranke (also endlich) für |y - x| ist(?) und das die Abgeschlossenheit durch das Gleichheitszeichen in der Relation gewährleistet ist. Aber das ist ja sicherlich nicht der Weisheit letzter Schluss.^^'
Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Sei K [mm] \subset \IR^{n} [/mm] kompakt und nicht leer, n [mm] \in \IN [/mm] und
> die Funktion r:K [mm] \mapsto \IR_{+} [/mm] stetig. Zeigen Sie, dass
> dann auch die Menge
>
> [mm] K_{r} [/mm] := {x [mm] \in \IR^{n}[/mm] [/mm] : [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] K mit |y - x| [mm] \le [/mm] r(y)}
>
> kompakt ist.
> meine Frage zu obiger Aufgabe ist im wesentlichen das
> Vorgehen. Ich weiß wann eine Menge kompakt ist
> (beschränkt und abgeschlossen),
Ja, das ist der Satz von Heine-Borel (oder ihr habt es in der VL direkt so definiert).
> Mit meinem laienhaften Verständnis denke ich mir, dass die
> Beschränktheit gegeben ist, da y aus einer kompakten Menge
> kommt, sodass dadurch r(y) auch eine Schranke (also
> endlich) für |y - x| ist(?)
Ja, das ist schonmal ein ganz guter Ansatz.
Ich nehme mal an, dass bei euch der Betrag |.| auch für die Norm im [mm] $\IR^{n}$ [/mm] steht?
Um Beschränktheit von [mm] $K_r$ [/mm] zu zeigen, musst du zeigen, dass eine Konstante $c [mm] \in \IR$ [/mm] existiert mit
[mm] $\forall [/mm] x [mm] \in K_r: [/mm] |x| [mm] \le [/mm] c$.
Um solch eine Konstante zu finden, überlege dir doch mal, wie du |x| nach oben abschätzen könntest.
Ein Tipp:
$|x| = |x -y + y|$
Du musst dann noch irgendwie benutzen, dass $K$ kompakt (und somit beschränkt) ist und dass eine stetige Funktion $r$ auf einem Kompaktum $K$ beschränkt ist....
> und das die Abgeschlossenheit
> durch das Gleichheitszeichen in der Relation gewährleistet
> ist.
Ja, das ist der grobe Grund.
Überprüfe es doch anhand der Definition:
[mm] $K_r$ [/mm] abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] Der Grenzwert $x$ jeder konvergenten Folge [mm] $(x_n) \subset K_r$ [/mm] liegt wieder in [mm] $K_r$.
[/mm]
Also nimm dir solch eine Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] x$. Dann bekommst du automatisch auch eine Folge [mm] $(y_n)$ [/mm] mit gewissen Eigenschaften. Versuche ein $y [mm] \in [/mm] K$ zu konstruieren, mit dem $|x-y| [mm] \le [/mm] r(y)$ gilt.
Benutze dazu die Abgeschlossenheit von $K$ (ist ja kompakt) und die Stetigkeit von r.
Viele Grüße,
Stefan
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Danke erstmal für die Hilfe. Dein Hinweis für die Beschränktheit hat mir weitergeholfen, von da musste man ja lediglich die Dreiecksungleichung anwenden(?).
Bei der Abgeschlossenheit tue ich mich noch schwer. Habe das so gemacht, dass ich ja weiß, dass r über einer kompakten Menge Maximum und Minimum annimmt. Somit gilt für jedes [mm] x_{n} \in K_{r} [/mm] mit [mm] min(K_{r}) \le x_{n} \le max(K_{r}):
[/mm]
[mm] \min_{x_{n} \in \K_{r}}((x_{n})) \le \limes_{n\rightarrow\infty}(x_{n})=x \le \max_{x_{n} \in \K_{r}}((x_{n}))
[/mm]
Damit konvergiert jede Teilfolge [mm] (x_{n}) \in K_{r} [/mm] und x [mm] \in K_{r}.
[/mm]
Stimmt das so einigermaßen?
Deinen Hinweis dazu konnte ich leider nicht wirklich umsetzen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal für die Hilfe. Dein Hinweis für die
> Beschränktheit hat mir weitergeholfen, von da musste man
> ja lediglich die Dreiecksungleichung anwenden(?).
>
> Bei der Abgeschlossenheit tue ich mich noch schwer. Habe
> das so gemacht, dass ich ja weiß, dass r über einer
> kompakten Menge Maximum und Minimum annimmt. Somit gilt
> für jedes [mm]x_{n} \in K_{r}[/mm] mit
[mm]min(K_{r}) \le x_{n} \le max(K_{r}):[/mm]
Das ist Quatsch ! [mm] K_r [/mm] ist eine Teilmenge des [mm] \IR^n, [/mm] was soll dann [mm] min(K_r), max(K_r) [/mm] bedeuten ?
>
> [mm]\min_{x_{n} \in \K_{r}}((x_{n})) \le \limes_{n\rightarrow\infty}(x_{n})=x \le \max_{x_{n} \in \K_{r}}((x_{n}))[/mm]
Auch das ist Unsinn !
>
> Damit konvergiert jede Teilfolge [mm](x_{n}) \in K_{r}[/mm] und x
> [mm]\in K_{r}.[/mm]
>
> Stimmt das so einigermaßen?
nein.
Du willst also noch die Abgeschlossenheit von [mm] K_r [/mm] zeigen.
Dazu sei [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Folge in [mm] K_r [/mm] und x ihr Limes.
Zu zeigen: x [mm] \in K_r.
[/mm]
Nach Def. von [mm] K_r [/mm] , gibt es zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] ein [mm] y_n \in [/mm] K mit:
(*) [mm] |y_n-x_n| \le r(y_n)
[/mm]
Nun ist K kompakt, also enthält [mm] (y_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (y_{n_k}), [/mm] deren Limes y zu K gehört.
Aus (*) folgt
[mm] |y_{n_k}-x_{n_k}| \le r(y_{n_k}) [/mm] für alle k.
Warum folgt nun x [mm] \in K_r [/mm] ?
FRED
>
> Deinen Hinweis dazu konnte ich leider nicht wirklich
> umsetzen.
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> Nun ist K kompakt, also enthält [mm](y_n)[/mm] eine konvergente
> Teilfolge [mm](y_{n_k}),[/mm] deren Limes y zu K gehört.
>
> Aus (*) folgt
>
> [mm]|y_{n_k}-x_{n_k}| \le r(y_{n_k})[/mm] für alle k.
>
> Warum folgt nun x [mm]\in K_r[/mm] ?
Weil der Grenzwert von konvergenter Folgen in [mm] K_{r} [/mm] in [mm] K_{r} [/mm] liegt und [mm] x_{n_k} \subset K_r, [/mm] da die [mm] y_n [/mm] bzw. [mm] y_n_k [/mm] aus [mm] K_r [/mm] kommen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Nun ist K kompakt, also enthält [mm](y_n)[/mm] eine konvergente
> > Teilfolge [mm](y_{n_k}),[/mm] deren Limes y zu K gehört.
> >
> > Aus (*) folgt
> >
> > [mm]|y_{n_k}-x_{n_k}| \le r(y_{n_k})[/mm] für alle k.
> >
> > Warum folgt nun x [mm]\in K_r[/mm] ?
>
> Weil der Grenzwert von konvergenter Folgen in [mm]K_{r}[/mm] in
> [mm]K_{r}[/mm] liegt
Wollen wir das nicht gerade zeigen ???
und [mm]x_{n_k} \subset K_r,[/mm] da die [mm]y_n[/mm] bzw. [mm]y_n_k[/mm]
> aus [mm]K_r[/mm] kommen?
mein Gott !
Lass mal in
$ [mm] |y_{n_k}-x_{n_k}| \le r(y_{n_k}) [/mm] $
k [mm] \to \infty [/mm] gehen. Was bekommst Du ?
FRED
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