kompakte Menge? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 So 06.10.2013 | | Autor: | drossel |
Hi, ich habe eine Menge (danke Felix) gegeben
[mm] min\{5x^2+6y^2: x-4\le 0
25-x^2-y^2\le 0 \}
[/mm]
gegeben. Die Menge aller zulässigen Punkte Z soll laut Skript eine kompake Menge sein, was ich nicht nachvollziehen kann. Ist das nicht eigentlich die Menge alles zulässiger Punkte: [mm] Z=(-\infty [/mm] , [mm] 4]\times (-\infty, \infty [/mm] ) ? Aber kompakt ist Z ja nicht. Help... Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:36 Mo 07.10.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hi, ich habe eine Menge gegeben
> [mm]min\{5x^2+6y^2: x-4\le 0, \; 25-x^2-y^2\le 0 \}[/mm]
> gegeben.
Das ist keine Menge, das ist eine reelle Zahl. Deine Menge $Z$ soll wohl die Anzahl der Punkte $(x, y)$ sein mit $5 [mm] x^2 [/mm] + 6 [mm] y^2$ [/mm] gleich diesem Minimum, die zusaetzlich die Bedingungen $x - 4 [mm] \le [/mm] 0$ und $25 - [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 \le [/mm] 0$ erfuellen?
> Die Menge aller zulässigen Punkte Z soll laut Skript eine
> kompake Menge sein, was ich nicht nachvollziehen kann. Ist
> das nicht eigentlich die Menge alles zulässiger Punkte:
> [mm]Z=(-\infty[/mm] , [mm]4]\times (-\infty, \infty[/mm] ) ?
Die Punkte in deinem $Z$ erfuellen zwar $x - 4 [mm] \le [/mm] 0$, jedoch nicht $25 - [mm] x^2 [/mm] - [mm] y^2 \le [/mm] 0$ und auch nicht $5 [mm] x^2 [/mm] + 6 [mm] y^2 [/mm] = [mm] \min$.
[/mm]
Bestimme doch erstmal das Minimum; das kann man explizit machen. Damit kannst du dann $Z$ als Schnitt von endlich vielen abgeschlossenen Mengen schreiben, von denen eine beschraenkt ist. Daraus folgt, dass $Z$ kompakt ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Mo 07.10.2013 | | Autor: | drossel |
Oh es tut mir leid, ich war gestern wohl etwas daneben.
Ich habe den Optimalpunkt (-5,0) schon bestimmen können.
Ich formuliere das mal hoffentlich jetzt richtig. Es geht um die Niveaumengen
[mm] \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f_1(x,y)\le 0 \} [/mm] und [mm] \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f_2(x,y)\le 0 \} \subset \mathbb{R}^2 [/mm]
mit [mm] f_1(x,y)=x-4
[/mm]
[mm] f_2(x,y)=25-x^2-y^2
[/mm]
Also ob diese kompakt sind.
Ich wollte damit überhaupt begründen zu Anfang der Aufgabe dass das Problem überhaupt lösbar ist (stetige Funktion [mm] f_0(x,y)=5x^2+6y^2 [/mm] nimmt auf Kompaktum ihr Minimum an)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Mo 07.10.2013 | | Autor: | hippias |
> Oh es tut mir leid, ich war gestern wohl etwas daneben.
> Ich habe den Optimalpunkt (-5,0) schon bestimmen können.
> Ich formuliere das mal hoffentlich jetzt richtig. Es geht
> um die Niveaumengen
> [mm]\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f_1(x,y)\le 0 \}[/mm] und
> [mm]\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f_2(x,y)\le 0 \} \subset \mathbb{R}^2[/mm]
> mit [mm]f_1(x,y)=x-4[/mm]
> [mm]f_2(x,y)=25-x^2-y^2[/mm]
> Also ob diese kompakt sind.
> Ich wollte damit überhaupt begründen zu Anfang der
> Aufgabe dass das Problem überhaupt lösbar ist (stetige
> Funktion [mm]f_0(x,y)=5x^2+6y^2[/mm] nimmt auf Kompaktum ihr Minimum
> an)
Nein, keine dieser beiden Mengen ist kompakt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Mo 07.10.2013 | | Autor: | drossel |
Danke, wie kann man das genau begründen? Ich habe auch gedacht, dass sie nicht kompakt ist, dann ist das ein Fehler im Skript. Es erfüllen doch (x,y) für [mm] y\in (-\infty, \infty) [/mm] die Bedingungen, also die Menge ist doch nicht beschränkt oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:27 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo drossel,
> Ich habe auch
> gedacht, dass sie nicht kompakt ist, dann ist das ein
> Fehler im Skript.
Steht da denn, dass die von dir angegebenen Niveaumengen kompakt seien? Falls nur von dem fraglichen Minimum die Rede ist, passt alles.
Zwar nehmen stetige reelle Funktionen auf nicht kompakten Mengen im Allgemeinen nicht ihr Infimum an, aber im Einzelfall kann das ja trotzdem der Fall sein.
> Danke, wie kann man das genau begründen? Es erfüllen doch (x,y) für [mm]y\in (-\infty, \infty)[/mm]
> die Bedingungen, also die Menge ist doch nicht beschränkt
> oder?
Du bist anscheinend gerade bei [mm] $\{(x,y)\in\IR^2\;|\;x\le 4\}=(-\infty,4)\times\IR$? [/mm] Ja, diese Menge ist unbeschränkt, also kann sie nicht kompakt sein.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:57 Di 08.10.2013 | | Autor: | drossel |
ja genau die Mengen waren gemeint.
Danke dir, dann hat sich das alles geklärt.
Danke an alle Beteiliger.
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