kompakte Operatoren < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Do 07.06.2007 | | Autor: | Kirsche |
Kompakte Operatoren haben wir so definiert:
Eine lineare Abbildung T zwischen normierten Räumen X und Y heißt kompakt, wenn [mm] T(B_x) [/mm] relativkompakt ist (d.h wenn der Abschluss von [mm] T(B_x) [/mm] kompakt ist)
[mm] B_x [/mm] = [mm] \{x \in X: \parallel x \parallel \le 1 }
[/mm]
Dann gibt es noch die Bemerkung dass T genau dann kompakt ist, wenn T beschränkte Mengen auf relativkompakte Mengen abbildet.
Meine Frage: wieso gilt "kompakte Operatoren sind stetig, da kompakte Mengen beschränkt sind"?
Ich glaube ich hab ein Brett vorm Kopf...wäre nett, wenn mir das jemand wegnehmen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Do 07.06.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
für lineare Abbildungen gibt es eine Charakterisierung der Stetigkeit die besagt, dass T genau dann stetig ist, wenn:
sup [mm] \parallelT(x)\parallel
Das bedeutet also, dass T die Einheitskugel in eine beschränkte Menge Abbilden muss.
Nun ist T kompakt und es gilt für die Einheitskugel [mm] T(B_{x}) [/mm] ist relativkompakt. Das bedeutet, dass das der Abschluss der oberen Menge kompakt ist. Kompakte Mengen sind (in normierten Räumen) beschränkt und somit ist die Bedingung im oberen Satz erfüllt und daher T stetig.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 So 10.06.2007 | | Autor: | Kirsche |
Vielen Dank, hat mir sehr geholfen :)
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