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| Aufgabe | Man bestimme Komplemente zu folgenden linearen Unterräumen des [mm] R^3 [/mm] bzw. [mm] R^4:
[/mm]
(i) U := D(1, 2, 3), (−2, 3, 1), (4, 1, 5)E
(ii) V := {(x1, x2, x3, x4) ∈ [mm] R^4 [/mm] : 3x1 − 2x2 + x3 + 2x4 = 0}
Dass es sich bei U, V um lineare Unterr¨aume handelt, muss nicht gezeigt werden. |
Hallo,
ich muss die obrige aufgabe lösen, aber hab leider nix beispielhaftes bisher gemacht und weiß leider auhc gar nicht wie ich daran gehen soll.
ich weiß was ein komplement ist. es muss gelten dass V=U + U' ist wobei die summe direkt ist. und ich weiß dass U bei (i) linear abhängig ist und leider deshalb nicht den ganzen [mm] R^3 [/mm] ( da keine Basis) aufspannt, sonst wär das komplement ja der Nullvektorraum.
und wenn ich das komplement dann irgenwann einmal gefunden habe, dann soll ich für die vektoren des spans von den Untervektorräumen jeweils zeigen dass die linear unabhängig sind. also hinschreiben reicht leider nicht einfach^^
ich wär wirklich dankbar für eine idee wie ich die aufgabe ansich überhaupt erst einmal angehen soll.
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu (i).
Das dimU = 2 hast Du richtig erkannt. bei dieser Rechnung muß Dir doch aufgefallen sein, dass
(*) { (1,2,3), (01,1) }
eine Basis von U ist. Ergänze doch (*) zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] !
FRED
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also dass dimU=2 ist habe ich verstanden,
aber das (*) eine Basis sein soll von U hab ich nciht verstanden, weil nach dem Basisauswahlsatz müsste ich doch aus dem gegebenen EZS (1,2,3),(-2,3,1),(4,1,5) 2 Vektoren für eine Basis auswählen, deshalb ist mir (*) leider unkar
und wenn ich die gefundene Basis von U dann zu einer Basis von [mm] R^3 [/mm] ergänze, ist dann der ergänzte Vektor (ich würde die einheitsvektoren von [mm] R^3 [/mm] probieren) als span das Komplement?
vielen dank schon einmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:28 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> also dass dimU=2 ist habe ich verstanden,
> aber das (*) eine Basis sein soll von U hab ich nciht
> verstanden,
Wie hast Du denn herausgefunden, dass (1, 2, 3), (−2, 3, 1), (4, 1, 5) linear abhängig sind ?
> weil nach dem Basisauswahlsatz müsste ich doch
> aus dem gegebenen EZS (1,2,3),(-2,3,1),(4,1,5) 2 Vektoren
> für eine Basis auswählen, deshalb ist mir (*) leider
> unkar
> und wenn ich die gefundene Basis von U dann zu einer Basis
> von [mm]R^3[/mm] ergänze, ist dann der ergänzte Vektor (ich würde
> die einheitsvektoren von [mm]R^3[/mm] probieren) als span das
> Komplement?
Ja, aber nicht das, sondern ein Komplement
(ein Komplementärraum ist i.a. nicht eindeutig bestimmt !)
FRED
>
> vielen dank schon einmal
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also ich hab eine Linearkombination aufgestellt
0= [mm] \alpha \pmat{ 1 & 2 & 3 } [/mm] + [mm] \beta \pmat{ -2 & 3 & 1} [/mm] + [mm] \gamma \pmat{ 4 & 1 & 5}
[/mm]
und für [mm] \alpha=-2 [/mm] , [mm] \beta=1 [/mm] und [mm] \gamma=1 [/mm] rausgekriegt und deshalb weiß ich ja dass die abhängig sind und die dimension deshalb 2 is, da 2 der vektoren unabhängig sind. deshalb dachte ich, dass ich einfach 2 auswähle aus den 3 vektoren und nicht selber eine neue Basis (*) aufstelle
und ich dachte auhc ein Komplement wäre eindeutig bestimmt, sobald U vorgegeben ist da V= U + U' ja direkt sein muss, ich wüsste nicht was für ein Komplement es im allgemeinen noch geben könnte
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> also ich hab eine Linearkombination aufgestellt
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> 0= [mm]\alpha \pmat{ 1 & 2 & 3 }[/mm] + [mm]\beta \pmat{ -2 & 3 & 1}[/mm] + [mm]\gamma \pmat{ 4 & 1 & 5}[/mm]
>
> und für [mm]\alpha=-2[/mm] , [mm]\beta=1[/mm] und [mm]\gamma=1[/mm] rausgekriegt und
> deshalb weiß ich ja dass die abhängig sind und die
> dimension deshalb 2 is, da 2 der vektoren unabhängig sind.
> deshalb dachte ich, dass ich einfach 2 auswähle aus den 3
> vektoren und nicht selber eine neue Basis (*) aufstelle
Hallo,
ja, dann machen wir das doch mal, ist doch egal, welche der unendlich vielen Basen von Du nimmst.
Nehmen wir die ersten beiden der erzeugenden Vektoren, sie sind offensichtlich linear unabhängig, und mit [mm] B:=(\pmat{ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ -2 & 3 & 1}) [/mm] haben wir eine Basis von U.
Es ist also [mm] U=span(\pmat{ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ -2 & 3 & 1}).
[/mm]
Jetzt mußt Du nur einen Vektor suchen, mit welchem Du die Vektoren von B zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzt, und dessen Span ist dann ein Komplement von U im [mm] \IR^3.
[/mm]
> und ich dachte auhc ein Komplement wäre eindeutig
> bestimmt,
Das war eindeutig vorbeigedacht.
> sobald U vorgegeben ist da V= U + U' ja direkt
> sein muss, ich wüsste nicht was für ein Komplement es im
> allgemeinen noch geben könnte
Nehmen wir doch mal ein Beispiel: sei U die xy- Ebene, also [mm] U=span(\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}).
[/mm]
Jeder der Vektoren [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] , [mm] \vektor{17\\-43\\123}, \vektor{0\\12\\-4711} [/mm] und viele mehr spannen Komplemente auf.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:41 Mi 09.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> > also ich hab eine Linearkombination aufgestellt
> >
> > 0= [mm]\alpha \pmat{ 1 & 2 & 3 }[/mm] + [mm]\beta \pmat{ -2 & 3 & 1}[/mm] +
> [mm]\gamma \pmat{ 4 & 1 & 5}[/mm]
> >
> > und für [mm]\alpha=-2[/mm] , [mm]\beta=1[/mm] und [mm]\gamma=1[/mm] rausgekriegt und
> > deshalb weiß ich ja dass die abhängig sind und die
> > dimension deshalb 2 is, da 2 der vektoren unabhängig sind.
> > deshalb dachte ich, dass ich einfach 2 auswähle aus den 3
> > vektoren und nicht selber eine neue Basis (*) aufstelle
>
> Hallo,
>
> ja, dann machen wir das doch mal, ist doch egal, welche der
> unendlich vielen Basen von Du nimmst.
>
> Nehmen wir die ersten beiden der erzeugenden Vektoren, sie
> sind offensichtlich linear unabhängig, und mit
> [mm]B:=(\pmat{ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ -2 & 3 & 1})[/mm] haben wir eine
> Basis von U.
>
> Es ist also [mm]U=span(\pmat{ 1 & 2 & 3 }, \pmat{ -2 & 3 & 1}).[/mm]
>
> Jetzt mußt Du nur einen Vektor suchen, mit welchem Du die
> Vektoren von B zu einer Basis des [mm]\IR^3[/mm] ergänzt, und
> dessen Span ist dann ein Komplement von U im [mm]\IR^3.[/mm]
>
>
> > und ich dachte auhc ein Komplement wäre eindeutig
> > bestimmt,
>
> Das war eindeutig vorbeigedacht.
>
>
> > sobald U vorgegeben ist da V= U + U' ja direkt
> > sein muss, ich wüsste nicht was für ein Komplement es im
> > allgemeinen noch geben könnte
>
> Nehmen wir doch mal ein Beispiel: sei U die xy- Ebene, also
> [mm]U=span(\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}).[/mm]
>
> Jeder der Vektoren [mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm] , [mm]\vektor{17\-43\\123}, \vektor{0\\12\\-4711}[/mm]
> und viele mehr spannen Komplemente auf.
Hallo Angela,
der zweite von Dir genannt Vektor aber nicht
Gruß FRED
>
> Gruß v. Angela
>
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> > Jeder der Vektoren [mm]\vektor{1\\2\\3}[/mm] , [mm]\vektor{17\-43\\123}, \vektor{0\\12\\-4711}[/mm]
> > und viele mehr spannen Komplemente auf.
>
> Hallo Angela,
>
> der zweite von Dir genannt Vektor aber nicht
>
> Gruß FRED
Hallo,
er ist ihn nun ein wenig zurechtgezupft und tut alles, was er soll.
Danke für den Hinweis und
Gruß v. Angela
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