komplex-reell < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mo 15.06.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in M(nxn;\IR). [/mm] Dann definiert A einen Endomorphismus von [mm] \IR^{n} [/mm] und wegen [mm] \IR \subset \IC [/mm] auch einen Endomorphismus von [mm] \IC^{n} [/mm] , den wir mit f bezeichnen. [mm] \IR^{n} [/mm] identifizieren wir mit den Vektoren aus [mm] \IC^{n} [/mm] , deren komponenten alle reell sind.
Zeige, dass gilt:
(i)falls [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von f ist, dann ist auch [mm] \overline{\lambda} [/mm] eigenwert von f
[mm] (ii)\overline{Hau(f,\lambda)} [/mm] = Hau(f, [mm] \overline{\lambda}) [/mm] und das charakteristische polynom von f hat die gestalt:
[mm] P_{f}(t)=(t-\lambda_{1})^{\mu_{1}}....(t-\lambda_{r})^{\mu_{r}}(t-\lambda_{r+1})^{\mu_{r+1}}(t-\overline{\lambda}_{r+1})^{\mu_{r+1}}
[/mm]
[mm] ...(t-\lambda_{r+t})^{\mu_{r+t}}(t-\overline{\lambda}_{r+t})^{\mu_{r+t}}
[/mm]
mit [mm] \lambda_{1},....,\lambda_{r} [/mm] reell und [mm] \lambda_{r+i} \not= \overline{\lambda}_{r+i} [/mm] für i [mm] \in [/mm] {1,...,t} und alle [mm] \lambda_{i} [/mm] sind verschieden. |
endlich eingetippt...
hallo leuts,
also diese aufgabe verwirrt mich.
ich weiß zwar, was ein Endomorphismus ist und kann auch mit dem char. polynom und eigenwerten umgehen, versteh aber die aufgabe glaube ich nich so richtig.
ist das konjugiert komplexe gemeint?
also a+bi und a-bi oder nicht?
wär toll wenn ihr mir bei der aufgabe helfen könntet.
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei A [mm]\in M(nxn;\IR).[/mm] Dann definiert A einen
> Endomorphismus von [mm]\IR^{n}[/mm] und wegen [mm]\IR \subset \IC[/mm] auch
> einen Endomorphismus von [mm]\IC^{n}[/mm] , den wir mit f
> bezeichnen. [mm]\IR^{n}[/mm] identifizieren wir mit den Vektoren aus
> [mm]\IC^{n}[/mm] , deren komponenten alle reell sind.
> Zeige, dass gilt:
>
> (i)falls [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von f ist, dann ist auch
> [mm]\overline{\lambda}[/mm] eigenwert von f
>
> [mm](ii)\overline{Hau(f,\lambda)}[/mm] = Hau(f, [mm]\overline{\lambda})[/mm]
> und das charakteristische polynom von f hat die gestalt:
>
> [mm]P_{f}(t)=(t-\lambda_{1})^{\mu_{1}}....(t-\lambda_{r})^{\mu_{r}}(t-\lambda_{r+1})^{\mu_{r+1}}(t-\overline{\lambda}_{r+1})^{\mu_{r+1}}[/mm]
>
> [mm]...(t-\lambda_{r+t})^{\mu_{r+t}}(t-\overline{\lambda}_{r+t})^{\mu_{r+t}}[/mm]
>
> mit [mm]\lambda_{1},....,\lambda_{r}[/mm] reell und [mm]\lambda_{r+i} \not= \overline{\lambda}_{r+i}[/mm]
> für i [mm]\in[/mm] {1,...,t} und alle [mm]\lambda_{i}[/mm] sind verschieden.
> endlich eingetippt...
> hallo leuts,
> also diese aufgabe verwirrt mich.
> ich weiß zwar, was ein Endomorphismus ist und kann auch
> mit dem char. polynom und eigenwerten umgehen, versteh aber
> die aufgabe glaube ich nich so richtig.
> ist das konjugiert komplexe gemeint?
> also a+bi und a-bi oder nicht?
[mm] $\overline{a+bi } [/mm] = a-ib$
> wär toll wenn ihr mir bei der aufgabe helfen könntet.
Zu i) Da A reelle Einträge hat, hat das char. Polynom von f reelle Koeffizienten.
zeige damit:
[mm] f(\lambda) [/mm] = 0 [mm] \gdw f(\overline{\lambda}) [/mm] = 0
FRED
> LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 Mo 15.06.2009 | | Autor: | simplify |
und was genau bedeutet [mm] \overline{\lambda} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> und was genau bedeutet [mm]\overline{\lambda}[/mm] ?
Die zu [mm] \lambda [/mm] konjugiert-komplexe Zahl
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Mo 15.06.2009 | | Autor: | simplify |
also soll ich ziegen, dass z.B f(a+bi)=0 [mm] \gdw [/mm] f(a-bi)=0
richtig?
Also [mm] A(a+bi)E_{n}=0 \gdw A(a-bi)E_{n}=0 [/mm] ?
aber damit [mm] A(a+bi)E_{n}=0 [/mm] ist müssen doch alle elemente auf der diagonalen von A gleich a+bi sein oder nicht?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> also soll ich ziegen, dass z.B f(a+bi)=0 [mm]\gdw[/mm] f(a-bi)=0
> richtig?
Ja (für f = char.Polynom von A)
> Also [mm]A(a+bi)E_{n}=0 \gdw A(a-bi)E_{n}=0[/mm] ?
?????????????????????
Was soll denn [mm][mm] A(a+bi)E_{n} [/mm] sein ???
FRED
> aber damit [mm]A(a+bi)E_{n}=0[/mm] ist müssen doch alle elemente
> auf der diagonalen von A gleich a+bi sein oder nicht?
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 15.06.2009 | | Autor: | simplify |
achso, das war mir nicht klar...dann ist das natürlich quatsch...
wenn ich eine allg. quadrat. matrix A habe, also [mm] A=\pmat{ a_{11} & a_{12}&...& a_{1n} \\ ...\\ a_{n1} & a_{n2} & ....& a_{nn} } [/mm] habe, dann sieht das char. Polynom ja so aus: [mm] f=det(A-\lambda E_{n})
[/mm]
aber ich kann doch keine aussage dazu treffen wie das char. polynom aussieht oder?
oder war es diese sache, dass das char. polynom einer matrix gleich dem einer ähnlichen ist?und eine zu A ähnliche Matrix hat obere dreiecksform...
also ist das char. polynom folgendes:
[mm] (a_{11}-\lambda)^{\mu_{1}}...(a_{nn}-\lambda)^{\mu_{n}}
[/mm]
mit [mm] \mu [/mm] algebr. vielfachheiten..???
oder bin ich da jetz völlig falsch???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich machs Dir vor:
Sei $f(z) = [mm] \summe_{k=0}^{n}a_kz^k$ [/mm] das char. Polynom von A.
Oben hab ich Dir schon gesagt: [mm] a_i \in \IR [/mm] für i=0, ..., n.
Dann:
[mm] $\overline{f(\lambda}) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}a_k\overline{\lambda^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}a_k\overline{\lambda}^k [/mm] = [mm] f(\overline{\lambda})$
[/mm]
Daraus folgt:
$ [mm] f(\lambda) [/mm] $ = 0 $ [mm] \gdw f(\overline{\lambda}) [/mm] $ = 0
FRED
|
|
|
|
