komplex differenzierbar < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo Stefan!
Warum hast du die Antwort als fehlerhaft markiert? Das was ich nicht sicher weiss habe ich doch denke ich ausreichend kenntlich gemacht... oo
Gruß Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Micha!
Ja, okay, ich kann es auch wieder rückgängig machen. Ich wollte nur deutlich machen, dass es eben nicht zwei getrennte Gleichungen sind und hoffte, dass Christiane so eher darauf aufmerksam wird.
Aber jetzt hat es Christiane ja gesehen, und daher mache ich es jetzt wieder rückgängig. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane, lieber Micha!
> Nun soll ich überprüfen, ob gewisse Funktionen [mm]f:\IC\to\IC[/mm]
> komplex diffbar sind. Ist es richtig, dass sie dann die
> Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung erfüllen müssen
> (also dass das äquivalent ist)?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann haben wir diese Gleichung folgendermaßen
> aufgeschrieben:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=i\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm]
>
> Sonst finde ich aber überall folgende "Definition":
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=-i\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm]
>
> Ist das vielleicht das Gleiche? Oder muss beides gelten?
> Oder haben wir etwa was falsch aufgeschrieben?
Beides ist das Gleiche!!
Sei $f=g+ih$. Dann bedeutet das erste:
[mm] $\frac{\partial g}{\partial y} [/mm] + [mm] i\, \frac{\partial h}{\partial y} [/mm] = i [mm] \cdot \left( \frac{\partial g}{\partial x} + i\, \frac{\partial h}{\partial x} \right)$,
[/mm]
also:
[mm] $\left( \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial x} \right) [/mm] + i [mm] \cdot \left( \frac{\partial h}{\partial y}- \frac{\partial g}{\partial x} \right) [/mm] =0$.
Dann müssen aber Real- und Imaginärteil gleich $0$ sein, d.h. es muss gelten:
[mm] $\frac{\partial g}{\partial y} [/mm] = - [mm] \frac{\partial h}{\partial x}$
[/mm]
und
[mm] $\frac{\partial h}{\partial y} [/mm] = [mm] \frac{\partial g}{\partial x}$.
[/mm]
Das zweite bedeutet:
[mm] $\frac{\partial g}{\partial x} [/mm] + [mm] i\, \frac{\partial h}{\partial x} [/mm] = -i [mm] \cdot \left( \frac{\partial g}{\partial y} + i\, \frac{\partial h}{\partial y} \right)$,
[/mm]
also:
[mm] $\left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial h}{\partial y} \right) [/mm] + i [mm] \cdot \left( \frac{\partial h}{\partial x}+ \frac{\partial g}{\partial y} \right) [/mm] =0$.
Dann müssen aber Real- und Imaginärteil gleich $0$ sein, d.h. es muss gelten:
[mm] $\frac{\partial g}{\partial x} [/mm] = [mm] \frac{\partial h}{\partial y}$
[/mm]
und
[mm] $\frac{\partial h}{\partial x} [/mm] = [mm] -\frac{\partial g}{\partial y}$.
[/mm]
Das ist das Gleiche wie oben!
> Ach ja, und dann direkt noch eine Frage: ist komplex
> differenzierbar dasselbe wie holomorph? Wenn ja, warum gibt
> es dann zwei Begriffe für ein und dasselbe?
Man sagt häufig, dass eine Funktion holomorph in einem Punkt ist, wenn sie in einer Umgebung des Punktes komplex differenzierbar ist. Eine Funktion, die in jedem Punkt komplex differenzierbar ist, wird gemeinhin als holomorph bezeichnet.
Liebe Grüße
Stefan
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Hi Stefan,
ich habe mich in den letzten Tagen schon einige Male erfolgreich auf Fettnäpfchensuche begeben - langsam finde ich Gefallen daran  .
Wäre es wirklich (mal wieder) zu einfach, die CR-Dgl in der ersten Form mit $- i$ zu multiplizieren, um auf die zwote zu kommen?
Gespannt, warum das so ist,
wartet mit lieben Grüßen und eingezogenem Kopf
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:08 Do 05.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Peter!
Nein, du trittst in überhaupt kein Fettnäpfchen und hast zudem vollkommen Recht. Ich hatte das auch so gesehen, wollte aber bei dieser Gelegenheit "nebenbei" erklären, was diese Wirtinger-Ableitungen eigentlich bedeuten und die reellen CR-Differentialgleichungen herleiten.
Es war eher (ob du es jetzt glaubst oder nicht, aber es war wirklich so) ein didaktischer Grund es anders zu machen.
Ich bin für solche Hinweise aber immer sehr dankbar, und bei mir kannst du auf diese Weise in kein Fettnäpfchen treten.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan, lieber Micha!
Schon mal danke für eure Antworten - das Skript habe ich mir mal direkt gespeichert und Stefans Rechnung konnte ich auch sehr schön nachvollziehen.
Hier nun meine Aufgaben - seltsamerweise habe ich raus, dass sie alle nicht komplex diffbar sind, das wundert mich etwas, deswegen wäre es schön, wenn das jemand mal nachprüfen könnte.
ich setze mal z=x+iy
[mm] f(z)=z\overline{z} [/mm] = (x+iy)(x-iy) = [mm] x^2+y^2
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial{y}} [/mm] = 2y
[mm] i\bruch{\partial f}{\partial{x}} [/mm] = i2x
da [mm] i2x\not=2y [/mm] ist diese Funktion nicht komplex diffbar
[mm] f(z)=z^2\overline{z} [/mm] = [mm] (x^2+2iy-y^2)(x-iy) [/mm] = [mm] x^3-ix^2y+2ixy+2y^2-xy^2+iy^3
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial{y}} [/mm] = [mm] -ix^2+2ix+4y-2xy+3iy^2
[/mm]
[mm] i\bruch{\partial f}{\partial{x}} [/mm] = [mm] 3ix^2+2xy-2y-iy^2
[/mm]
Auch hier ist [mm] \bruch{\partial f}{\partial{y}} \not= i\bruch{\partial f}{\partial{x}}, [/mm] also ist auch diese Funktion nicht komplex diffbar.
f(z)=Im z = y
[mm] \bruch{\partial f}{\partial{y}} [/mm] = 1
[mm] i\bruch{\partial f}{\partial{x}} [/mm] = 0
Hier ist ebenfalls [mm] 1\not=0, [/mm] also ist auch diese Funktion nicht komplex diffbar. (oder muss man Im z schreiben als [mm] \bruch{z-\overline{z}}{2i}, [/mm] wenn ja, wieso?)
f(z)= [mm] (\cos^2x-\sin^2y)-2i\cos{x}\sin{y}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial{y}} [/mm] = [mm] -\sin{2y}-2i\cos{x}\cos{y}
[/mm]
[mm] i\bruch{\partial f}{\partial{x}} [/mm] = [mm] -\sin{2x}+2i\sin{y}\sin{x}
[/mm]
Und hier ist es nicht anders, als bei den vorherigen Aufgaben auch, und somit ist auch diese Funktion nicht komplex diffbar.
Habe ich hier einen allgemeinen Fehler? Oder nur irgendwo einen Rechenfehler? Oder sind wirklich alle diese Funktionen nicht komplex diffbar...
Viele Grüße
Christiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Bist du dir sicher, dass wirklich alle Funktionen an keiner Stelle komplex differenzierbar sind?
Ich würde da lieber noch einmal drüber nachdenken an deiner Stelle.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:57 Do 05.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Bist du dir sicher, dass wirklich alle Funktionen an keiner
> Stelle komplex differenzierbar sind?
Habe ich irgendwo behauptet, dass sie an keiner Stelle diffbar sind? Die Fragestellung hieß:
Sind die folgenden Funktionen [mm] f:\IC\to\IC [/mm] komplex differenzierbar:
Aber ich hab's mir nochmal angeguckt:
also, die erste ist nur bei 0 diffbar, die zweite ist auch in 0 diffbar, ich war allerdings zu faul zu gucken, ob es die einzige Stelle ist..., die dritte ist nirgendwo diffbar und die vierte glaube ich auch nicht - jedenfalls wüsste ich so spontan nicht, wo sie diffbar sein könnte.
Aber meinst du, das war in der Aufgabenstellung noch gefragt?
> Ich würde da lieber noch einmal drüber nachdenken an deiner
> Stelle.
Das hört sich so an, als wäre das klar, nur ich wäre zu blöd dazu gewesen! Aber jetzt hab' ich ja nochmal drüber nachgedacht.
Viele Grüße
Christiane
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Do 05.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > Bist du dir sicher, dass wirklich alle Funktionen an keiner
> > Stelle komplex differenzierbar sind?
>
> Habe ich irgendwo behauptet, dass sie an keiner Stelle
> diffbar sind? Die Fragestellung hieß:
> Sind die folgenden Funktionen [mm]f:\IC\to\IC[/mm] komplex
> differenzierbar:
Das stimmt schon. Aber das sollte (vermutlich) implizieren zu schauen, an welchen Stellen sie denn komplex differenzierbar sind.
> Aber ich hab's mir nochmal angeguckt:
> also, die erste ist nur bei 0 diffbar, die zweite ist auch
> in 0 diffbar, ich war allerdings zu faul zu gucken, ob es
> die einzige Stelle ist..., die dritte ist nirgendwo diffbar
> und die vierte glaube ich auch nicht - jedenfalls wüsste
> ich so spontan nicht, wo sie diffbar sein könnte.
> Aber meinst du, das war in der Aufgabenstellung noch
> gefragt?
Ich denke schon. Aber das weiß natürlich nur der Aufgabesteller. Wenn man die Aufgabenstellung wörtlich nimmt, dann hast du natürlich Recht.
> > Ich würde da lieber noch einmal drüber nachdenken an deiner
> > Stelle.
> Das hört sich so an, als wäre das klar, nur ich wäre zu
> blöd dazu gewesen!
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Also, ich weiß jetzt nicht, wie man das da rauslesen kann. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") Ich wollte dich nur mal dazu anregen dir die Gleichungen etwas genauer anzuschauen. Es kann ja auf jeden Fall nicht schaden es genauer zu untersuchen. Punktabzug wird es dafür mit Sicherheit nicht geben.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Do 05.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> > Aber ich hab's mir nochmal angeguckt:
> > also, die erste ist nur bei 0 diffbar, die zweite ist
> auch
> > in 0 diffbar, ich war allerdings zu faul zu gucken, ob es
> > die einzige Stelle ist..., die dritte ist nirgendwo diffbar
> > und die vierte glaube ich auch nicht - jedenfalls wüsste
> > ich so spontan nicht, wo sie diffbar sein könnte.
> > Aber meinst du, das war in der Aufgabenstellung noch
> > gefragt?
>
> Ich denke schon. Aber das weiß natürlich nur der
> Aufgabesteller. Wenn man die Aufgabenstellung wörtlich
> nimmt, dann hast du natürlich Recht.
Ist das denn jetzt richtig, was ich da geschrieben habe?
> > > Ich würde da lieber noch einmal drüber nachdenken an deiner
> > > Stelle.
> > Das hört sich so an, als wäre das klar, nur ich wäre zu
> > blöd dazu gewesen!
>
> Also, ich weiß jetzt nicht, wie man das da rauslesen
> kann. Ich wollte dich nur mal dazu anregen dir
> die Gleichungen etwas genauer anzuschauen. Es kann ja auf
> jeden Fall nicht schaden es genauer zu untersuchen.
> Punktabzug wird es dafür mit Sicherheit nicht geben.
Ehrlich gesagt, verstehe ich auch nicht, wie ich das da rausgelesen habe. Aber ich habe es ja auch nicht böse aufgefasst - ist natürlich gut, wenn ich mir die Sachen nochmal genauer angucke. Aber Punkteabzug könnte es geben, wenn ich da was verkehrtes hinschreibe, auch wenn es nicht gefragt war, oder nicht?
Viele Grüße
Christiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]"){kind=small}
