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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Sa 24.04.2010 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Betrachten Sie die Abbildung J: [mm] \IC [/mm] \ [mm] \{0\}\to \IC, J(z)=\bruch{1}{2}(z+\bruch{1}{z}) [/mm] und bestimmen und skizzieren Sie das Bild des Strals [mm] R_{\phi}=\{z\in\IZ : z=r(cos(\phi)+isin(\phi)),r>0\} [/mm] für alle [mm] \phi\in (-\pi,\pi]. [/mm] |
Hallo zusammen!!
Kofrontiere gerade mit der Aufgabe. Dabei steht auch Hienweis, dass falls [mm] \phi \notin \bruch{\phi}{2}\IZ [/mm] für [mm] x+iy\in J(R_{\phi}) [/mm] die Hyperbelgleichung [mm] (\bruch{x}{a})^2-(\bruch{y}{b})^2=1 [/mm] mit geeigneten [mm] a,b\not=0 [/mm] erfüllt ist.
Naja ich kann diese Hyperbelgleichung nicht herleiten. Ich habe versucht die [mm] z=r(cos(\phi)+isin(\phi)) [/mm] in die Funktion einzusetzen, das ist nicht aufgegangen. Danach habe ich die J Funktion umzuformen versucht, und dann die komlexe Zahl mit Polarkoordinaten darzustellen, aber das hat auch nicht funktioniert. Ich bitte euch um irgend einen Tipp, was mich weteir bringen kann.
Freue mich über jede Antwort.
Danke Schön
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 So 25.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
Ich hoffe das reicht dir: https://matheraum.de/read?i=665787
Siehe auch unter Joukowski Gleichung.
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 So 25.04.2010 | | Autor: | math101 |
Vielen Dank, für deine Antwort, aber das bringt mich auch nciht wirklcih weiter.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:24 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank, für deine Antwort, aber das bringt mich auch
> nciht wirklcih weiter.
Dein urspruenglicher Ansatz ist doch schonmal ganz gut. Da [mm] $\frac{1}{\cos \phi + i \sin \phi} [/mm] = [mm] \cos \phi [/mm] - i [mm] \sin \phi$ [/mm] ist, bekommst du schnell heraus, dass $f(r [mm] \cos \phi [/mm] + r i [mm] \sin \phi) [/mm] = [mm] \frac{r + 1/r}{2} \cos \phi [/mm] + i [mm] \frac{r - 1/r}{2} \sin \phi$ [/mm] ist.
Jetzt ist $r > 0$, womit du $r = [mm] \exp(s)$ [/mm] schreiben kannst mit $s [mm] \in \IR$. [/mm] Und [mm] $\frac{\exp(s) + \exp(-s)}{2} [/mm] = ...$ und [mm] $\frac{\exp(s) - \exp(-s)}{2} [/mm] = ...$ -- kannst du hier die Luecken fuellen?
(Wie kann man eine Hyperbel explizit parametrisieren?)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 So 25.04.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo, Felix!!
Herzlichen Dank für deine Antwort!!
> Dein urspruenglicher Ansatz ist doch schonmal ganz gut. Da
> [mm]\frac{1}{\cos \phi + i \sin \phi} = \cos \phi - i \sin \phi[/mm]
> ist, bekommst du schnell heraus, dass [mm]f(r \cos \phi + r i \sin \phi) = \frac{r + 1/r}{2} \cos \phi + i \frac{r - 1/r}{2} \sin \phi[/mm]
> ist.
>
> Jetzt ist [mm]r > 0[/mm], womit du [mm]r = \exp(s)[/mm] schreiben kannst mit
> [mm]s \in \IR[/mm]. Und [mm]\frac{\exp(s) + \exp(-s)}{2} = ...[/mm] und
> [mm]\frac{\exp(s)-\exp(-s)}{2}= ...[/mm] -- kannst du hier die
> Luecken fuellen?
>
> (Wie kann man eine Hyperbel explizit parametrisieren?)
>
>
[mm] \frac{\exp(s) + \exp(-s)}{2}=cosh(s) [/mm] und [mm] \frac{\exp(s)-\exp(-s)}{2}=sinh(s)
[/mm]
Wenn ich das jetzt oben einsetze:
[mm] J(rcos(\phi)+risin(\phi))=cosh(s)cos(\phi)+isinh(s)sin(\phi)
[/mm]
Durch Parametrisietung ergibt sich: [mm] x^2=cosh(s)^2 cos(\phi)^2 [/mm] => [mm] cosh(s)^2=\frac{x^2}{cos^2(\phi)} [/mm] und [mm] sinh^2(s)=\frac{y^2}{sin^2(\phi)} [/mm] und weil [mm] cosh^{s}-sinh^2(s)=1 [/mm] bekomme ich [mm] \frac{x^2}{cos^2(\phi)}- \frac{y^2}{sin^2(\phi)}=1.
[/mm]
Bin ich auf dem richtigen Weg?
Noch mal tausend Dank für deine Antwort.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 So 25.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> [mm]\frac{\exp(s) + \exp(-s)}{2}=cosh(s)[/mm] und
> [mm]\frac{\exp(s)-\exp(-s)}{2}=sinh(s)[/mm]
Genau 
> Wenn ich das jetzt oben einsetze:
>
> [mm]J(rcos(\phi)+risin(\phi))=cosh(s)cos(\phi)+isinh(s)sin(\phi)[/mm]
> Durch Parametrisietung ergibt sich: [mm]x^2=cosh(s)^2 cos(\phi)^2[/mm]
> => [mm]cosh(s)^2=\frac{x^2}{cos^2(\phi)}[/mm] und
> [mm]sinh^2(s)=\frac{y^2}{sin^2(\phi)}[/mm] und weil
> [mm]cosh^{s}-sinh^2(s)=1[/mm] bekomme ich [mm]\frac{x^2}{cos^2(\phi)}- \frac{y^2}{sin^2(\phi)}=1.[/mm]
>
> Bin ich auf dem richtigen Weg?
Sieht meiner Meinung nach gut aus!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:46 So 25.04.2010 | | Autor: | math101 |
Ein riiiiiiiiiiiiiiiesen Danke Schön!!! 
Gruß
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