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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:52 Mo 09.11.2009 | | Autor: | together |
| Aufgabe | Es seien [mm] A=\{z\in \IC; |z-i|=2} [/mm] und
[mm] f_{a}:\IC \to \IC [/mm] mit [mm] f_{a}(z)=(1-i)z, [/mm]
[mm] f_{b}:\IC [/mm] \ {0} [mm] \to \IC [/mm] mit [mm] f_{b}(z)=\bruch{1}{z}.
[/mm]
Beschreiben und skizzieren Sie mit Begründung:
a. [mm] f_{a}(A)
[/mm]
b. [mm] f_{b}(A)
[/mm]
c. [mm] (f_{a}\circ f_{b})(A)
[/mm]
d. [mm] (f_{b}\circ f_{a})(A). [/mm] |
Hallo zusammen,
kann mr hier jemand einen Tipp für den Ansatz geben, mit dem ich dann weiter arbeiten kann?
Es geht mir nicht um die Lösung, sondern um einen hilfreichen Hinweis.
Vielen Dank und viele Grüße
together
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum oder auf keiner anderen Internetseite gestellt.
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Hallo together,
> Es seien [mm]A=\{z\in \IC; |z-i|=2}[/mm] und
> [mm]f_{a}:\IC \to \IC[/mm] mit [mm]f_{a}(z)=(1-i)z,[/mm]
> [mm]f_{b}:\IC[/mm] \ {0} [mm]\to \IC[/mm] mit [mm]f_{b}(z)=\bruch{1}{z}.[/mm]
>
> Beschreiben und skizzieren Sie mit Begründung:
> a. [mm]f_{a}(A)[/mm]
> b. [mm]f_{b}(A)[/mm]
> c. [mm](f_{a}\circ f_{b})(A)[/mm]
> d. [mm](f_{b}\circ f_{a})(A).[/mm]
Zunächst solltest du dir überlegen, wie die Menge A aussieht. Es ist die Menge [mm] $z\in \IC$, [/mm] für die gilt: $|z-i| = 2$, also die Menge der komplexen Zahlen, die von der Zahl i den Abstand 2 haben.
In der Gauß-Ebene kannst du dir das so veranschaulichen, dass i der Punkt (0|1) ist und die Menge A die Menge aller Punkte, die von diesem Punkt (0|1) den Abstand zwei haben.
A ist also ein Kreis mit Mittelpunkt (0|1) und Radius 2.
Für a) solltest du dir ins Gedächtnis rufen, was graphisch verdeutlicht eine Multiplikation von zwei komplexen Zahlen bedeutet: Multipliziere ich die Zahl z mit einer zahl [mm] y\in\IC, [/mm] bedeutet das, dass die Zahl z um den Winkel von y in der Gaußschen Zahlenebene (y in Polarkoordinaten!) gedreht wird und um den Betrag von y von (0|0) aus gestreckt wird.
- Überlege also: Wie sieht (1-i) in Polarkoordinatendarstellung aus? Wie wird bei der Funktion [mm] f_{a} [/mm] also die Urbildmenge abgebildet?
Zu b)
[mm] \frac{1}{z} [/mm] kannst du schreiben als:
[mm] \frac{\overline{z}}{|z|} [/mm] = [mm] \frac{1}{|z|}*\overline{z}.
[/mm]
[mm] \overline{z} [/mm] ist das Komplement von z. Wenn ich eine komplexe Zahl durch eine reelle Zahl [mm] \frac{1}{|z|} [/mm] teile, bedeutet das (verdeutliche es dir in der Polarkoordinatendarstellung einer Zahl z!), dass nicht der Winkel von z verändert wird, sondern z nur wieder aus (0|0) - Richtung gestaucht / gestreckt wird.
Nun überlege, wie sich A, der Kreis, verändert wenn du erste [mm] \overline{z} [/mm] als Funktion hättest, und danach das Ergebnis noch um |z| stauchst!
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Mo 09.11.2009 | | Autor: | together |
> Hallo together,
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> > Es seien [mm]A=\{z\in \IC; |z-i|=2}[/mm] und
> > [mm]f_{a}:\IC \to \IC[/mm] mit [mm]f_{a}(z)=(1-i)z,[/mm]
> > [mm]f_{b}:\IC[/mm] \ {0} [mm]\to \IC[/mm] mit [mm]f_{b}(z)=\bruch{1}{z}.[/mm]
> >
> > Beschreiben und skizzieren Sie mit Begründung:
> > a. [mm]f_{a}(A)[/mm]
> > b. [mm]f_{b}(A)[/mm]
> > c. [mm](f_{a}\circ f_{b})(A)[/mm]
> > d. [mm](f_{b}\circ f_{a})(A).[/mm]
>
> Zunächst solltest du dir überlegen, wie die Menge A
> aussieht. Es ist die Menge [mm]z\in \IC[/mm], für die gilt: [mm]|z-i| = 2[/mm],
> also die Menge der komplexen Zahlen, die von der Zahl i den
> Abstand 2 haben.
> In der Gauß-Ebene kannst du dir das so veranschaulichen,
> dass i der Punkt (0|1) ist und die Menge A die Menge aller
> Punkte, die von diesem Punkt (0|1) den Abstand zwei haben.
> A ist also ein Kreis mit Mittelpunkt (0|1) und Radius 2.
Das ist mir jetzt klar, danke!
> Für a) solltest du dir ins Gedächtnis rufen, was
> graphisch verdeutlicht eine Multiplikation von zwei
> komplexen Zahlen bedeutet: Multipliziere ich die Zahl z mit
> einer zahl [mm]y\in\IC,[/mm] bedeutet das, dass die Zahl z um den
> Winkel von y in der Gaußschen Zahlenebene (y in
> Polarkoordinaten!) gedreht wird und um den Betrag von y von
> (0|0) aus gestreckt wird.
Hm, und wie kann ich das skizzieren, wenn z, y beliebig sind?
Ich blicke noch nicht durch!
WIe bringe ich die Menge und die Abbildungen zusammen?
>
> - Überlege also: Wie sieht (1-i) in
> Polarkoordinatendarstellung aus? Wie wird bei der Funktion
> [mm]f_{a}[/mm] also die Urbildmenge abgebildet?
Ist das dann der Abstand von 1 zur komplexen Zahl i?
KAnn mir das irgendwie nicht graphisch vorstellen mit der Urbildmenge.
> Zu b)
>
> [mm]\frac{1}{z}[/mm] kannst du schreiben als:
>
> [mm]\frac{\overline{z}}{|z|}[/mm] = [mm]\frac{1}{|z|}*\overline{z}.[/mm]
>
> [mm]\overline{z}[/mm] ist das Komplement von z. Wenn ich eine
> komplexe Zahl durch eine reelle Zahl [mm]\frac{1}{|z|}[/mm] teile,
> bedeutet das (verdeutliche es dir in der
> Polarkoordinatendarstellung einer Zahl z!), dass nicht der
> Winkel von z verändert wird, sondern z nur wieder aus
> (0|0) - Richtung gestaucht / gestreckt wird.
>
> Nun überlege, wie sich A, der Kreis, verändert wenn du
> erste [mm]\overline{z}[/mm] als Funktion hättest, und danach das
> Ergebnis noch um |z| stauchst!
Kann ich für z jede beliebige Zahl nehmen?
Ich blicke es noch nicht, glaube ich!
VG
together
>
> Grüße,
> Stefan
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Hallo!
> > Für a) solltest du dir ins Gedächtnis rufen, was
> > graphisch verdeutlicht eine Multiplikation von zwei
> > komplexen Zahlen bedeutet: Multipliziere ich die Zahl z mit
> > einer zahl [mm]y\in\IC,[/mm] bedeutet das, dass die Zahl z um den
> > Winkel von y in der Gaußschen Zahlenebene (y in
> > Polarkoordinaten!) gedreht wird und um den Betrag von y von
> > (0|0) aus gestreckt wird.
>
> Hm, und wie kann ich das skizzieren, wenn z, y beliebig
> sind?
> Ich blicke noch nicht durch!
> WIe bringe ich die Menge und die Abbildungen zusammen?
Die Zahl (1-i) lässt sich auch darstellen als [mm] $\sqrt{2}*e^{i*(-\pi/4)}$ [/mm] (Polarkoordinatendarstellung). D. h. vom Koordinatenursprung aus ist sie 45° in den 4. Quadranten reingedreht und hat den Abstand [mm] \sqrt{2} [/mm] vom Koordinatenursprung.
Multipliziere ich jetzt irgendeine Zahl z = [mm] r*e^{i\phi} [/mm] in Polarkoordinatendarstellung mit der Zahl (1-i), sieht das so aus:
$(1-i)*z = [mm] \sqrt{2}*e^{i*(-\pi/4)}*r*e^{i\phi} [/mm] = [mm] (\sqrt{2}*r)*e^{i*(\phi-\pi/4)}$
[/mm]
Der neue Radius der Zahl z wird also mit [mm] \sqrt{2} [/mm] malgenommen und der neue Winkel ist der alte [mm] \phi [/mm] minus 45°, also [mm] \pi/4.
[/mm]
Teilen wir mal die Schritte auf:
Erst drehen wir die Gesamte Urbildmenge (also den Kreis um (1|0) mit Radius 2) um den Koordinatenursprung um -45°, also um 45° nach links.
Denn nichts anderes wird mit jeder Zahl z der Urbildmenge gemacht, wenn ich sie mit (1-i) multipliziere. Dann erhalten wir den schwarzen Kreis:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun stauchen wir diesen Kreis um [mm] \sqrt{2}, [/mm] ausgehend vom Koordinatenursprung, das ist der zweite Schritt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Um den Kreis jeweils vernünftig einzeichnen zu können, solltest du die Punkte (0|3) = 3i, (0|-1) = -i, (-2|1) = -2+i und (2+i) = 2+i jeweils mal in die Abbildung [mm] f_{a} [/mm] einsetzen, damit du die Bildpunkte hast und nur noch den Kreis durchziehen musst.
> > Zu b)
> >
> > [mm]\frac{1}{z}[/mm] kannst du schreiben als:
> >
> > [mm]\frac{\overline{z}}{|z|}[/mm] = [mm]\frac{1}{|z|}*\overline{z}.[/mm]
> >
> > [mm]\overline{z}[/mm] ist das Komplement von z. Wenn ich eine
> > komplexe Zahl durch eine reelle Zahl [mm]\frac{1}{|z|}[/mm] teile,
> > bedeutet das (verdeutliche es dir in der
> > Polarkoordinatendarstellung einer Zahl z!), dass nicht der
> > Winkel von z verändert wird, sondern z nur wieder aus
> > (0|0) - Richtung gestaucht / gestreckt wird.
> >
> > Nun überlege, wie sich A, der Kreis, verändert wenn du
> > erste [mm]\overline{z}[/mm] als Funktion hättest, und danach das
> > Ergebnis noch um |z| stauchst!
>
> Kann ich für z jede beliebige Zahl nehmen?
Deine Funktion ist [mm] $\frac{1}{|z|^{2}}*\overline{z}$ [/mm] (ist jetzt anders, hatte mich vorhins vertan). Wenn du die Bildmenge dieser Funktion bestimmen willst, müsstest du eigentlich jedes z aus der Urbildmenge (also dem Kreis) nehmen, einsetzen und in den Graphen einzeichnen. Da das aber zu lange dauert, machst du dir einfach Gedanken, was bei der Abbildung passiert.
Zuerst wird [mm] \overline{z} [/mm] gebildet. Was bedeutet das graphisch: Eine Spiegelung der Urbildmenge an der reellen Achse, denn jede Zahl z = x+iy wird zu x-iy.
Also ist dein erster Schritt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Das Ergebnis von [mm] \overline{z} [/mm] wird nun noch mit [mm] \frac{1}{|z|} [/mm] malgenommen; eine komplexe Zahl mit einer reellen Zahl zu multiplizieren bedeutet graphisch, dass die komplexe Zahl ausgehend von (0|0) gestreckt oder gestaucht wird abhängig von der reellen Zahl.
Nun schau' dir mal das obige Bild an und überlege, wenn du von bestimmten Punkten den Betrag bildest (der von [mm] \overline{z} [/mm] ist derselbe wie von z) und den Punkt jeweils entsprechend um diesen Faktor "näher" an den Ursprung heranschiebst, was passiert.
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Mo 09.11.2009 | | Autor: | together |
Hallo Stefan,
vielen Dank für die ausführliche Erklärung.
Ich werde das alles nochmal in Ruhe nachvollziehen, aber es hat mir sehr geholfen.
Beste Grüße
together
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Hallo!
> Nun stauchen wir diesen Kreis um [mm]\sqrt{2},[/mm] ausgehend vom
> Koordinatenursprung, das ist der zweite Schritt:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Um den Kreis jeweils vernünftig einzeichnen zu können,
> solltest du die Punkte (0|3) = 3i, (0|-1) = -i, (-2|1) =
> -2+i und (2+i) = 2+i jeweils mal in die Abbildung [mm]f_{a}[/mm]
> einsetzen, damit du die Bildpunkte hast und nur noch den
> Kreis durchziehen musst.
ICh habe folgende Punkte errechnet: (3, 3), (-1, 0), (-1, 3) und (3, 0).
Das ist dann aber kein Kreis mehr, richtig. Und Deine ZEichnung passt dann nicht, da sich die beiden Kreislinien teilweise überschneiden, oder?
VG
together
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Mi 11.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:18 Di 10.11.2009 | | Autor: | together |
Hallo!
> Der neue Radius der Zahl z wird also mit [mm]\sqrt{2}[/mm]
> malgenommen und der neue Winkel ist der alte [mm]\phi[/mm] minus
> 45°, also [mm]\pi/4.[/mm]
>
> Teilen wir mal die Schritte auf:
>
> Erst drehen wir die Gesamte Urbildmenge (also den Kreis um
> (1|0) mit Radius 2) um den Koordinatenursprung um -45°,
> also um 45° nach links.
> Denn nichts anderes wird mit jeder Zahl z der Urbildmenge
> gemacht, wenn ich sie mit (1-i) multipliziere. Dann
> erhalten wir den schwarzen Kreis:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
-45° heißt 45° Drehung nach links? Aber Du drehst doch hier nach rechts...oder bin ich jetzt ganz verwirrt?
VG
together
Zu b)
> Das Ergebnis von [mm]\overline{z}[/mm] wird nun noch mit
> [mm]\frac{1}{|z|}[/mm] malgenommen; eine komplexe Zahl mit einer
> reellen Zahl zu multiplizieren bedeutet graphisch, dass die
> komplexe Zahl ausgehend von (0|0) gestreckt oder gestaucht
> wird abhängig von der reellen Zahl.
> Nun schau' dir mal das obige Bild an und überlege, wenn
> du von bestimmten Punkten den Betrag bildest (der von
> [mm]\overline{z}[/mm] ist derselbe wie von z) und den Punkt jeweils
> entsprechend um diesen Faktor "näher" an den Ursprung
> heranschiebst, was passiert.
Es wird eine Ellipse?
Ist es dann egal an welcher Achse ich sie stauche bzw. strecke?
VG
together
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:38 Mi 11.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es wird keine Ellipse, du hast doch ne Streckung von 0 aus und keine Streckung oder Stauchung in Richtg der Achsen!
beim Teilen werden Winkel abgezogen, also im Uhrzeigersinn gedreht, stand auch in dem post: Drehung um [mm] -\pi/4.
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:33 Do 12.11.2009 | | Autor: | together |
> Hallo
> es wird keine Ellipse, du hast doch ne Streckung von 0 aus
> und keine Streckung oder Stauchung in Richtg der Achsen!
> beim Teilen werden Winkel abgezogen, also im Uhrzeigersinn
> gedreht, stand auch in dem post: Drehung um [mm]-\pi/4.[/mm]
> Gruss leduart
Ich meine in Aufgabenteil b!
HIer schreibt er doch, dass der BEtrag um den entsprechenden Faktor näher an der URsprung geschoben wird!
z. B: (0, 3), |0+3i|=3
Oder liege ich total falsch?
VG
together
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:19 Do 12.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht also, obwohl du teile von Aufgabe a) dran haängst um f(z)=1/z wobei du verstanden hast, dass man das als [mm] \overline{z}/|z|^2 [/mm] screiben kann. erst den Kreis an der x Achse spiegeln , d.h. es wird ein Kreis mit Radius 2 um -i
dann um den Faktor [mm] 1/|z|^2 [/mm] strecken bzw stauchen.
wa wird aus dem punkt (0,i) da |i|=1 bleibt er. was wird aus dem Punkr -3i Betrag 3 Betrgesquadrat 9 also wird er mit 1/9 multipliziert, er wird zu i/3
wwas wird aus z=2+i [mm] |z|^2=5 [/mm] also 2/5+i/5 usw.
kannst du dir jetzt ein Bild machen. zeichne den Kreis und zeichne dann viele Sekanten von (0,0) aus ein, jede wird um das Quadrat ihrer Länge gekürzt (geteilt)
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:29 Do 12.11.2009 | | Autor: | together |
> Hallo!
> > Der neue Radius der Zahl z wird also mit [mm]\sqrt{2}[/mm]
> > malgenommen und der neue Winkel ist der alte [mm]\phi[/mm] minus
> > 45°, also [mm]\pi/4.[/mm]
> >
> > Teilen wir mal die Schritte auf:
> >
> > Erst drehen wir die Gesamte Urbildmenge (also den Kreis um
> > (1|0) mit Radius 2) um den Koordinatenursprung um -45°,
> > also um 45° nach links.
> > Denn nichts anderes wird mit jeder Zahl z der
> Urbildmenge
> > gemacht, wenn ich sie mit (1-i) multipliziere. Dann
> > erhalten wir den schwarzen Kreis:
> >
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> -45° heißt 45° Drehung nach links? Aber Du drehst doch
> hier nach rechts...oder bin ich jetzt ganz verwirrt?
>
> VG
> together
>
> Zu b)
> > Das Ergebnis von [mm]\overline{z}[/mm] wird nun noch mit
> > [mm]\frac{1}{|z|}[/mm] malgenommen; eine komplexe Zahl mit einer
> > reellen Zahl zu multiplizieren bedeutet graphisch, dass die
> > komplexe Zahl ausgehend von (0|0) gestreckt oder gestaucht
> > wird abhängig von der reellen Zahl.
> > Nun schau' dir mal das obige Bild an und überlege,
> wenn
> > du von bestimmten Punkten den Betrag bildest (der von
> > [mm]\overline{z}[/mm] ist derselbe wie von z) und den Punkt jeweils
> > entsprechend um diesen Faktor "näher" an den Ursprung
> > heranschiebst, was passiert.
>
> Es wird eine Ellipse?
> Ist es dann egal an welcher Achse ich sie stauche bzw.
> strecke?
Ich bin jetzt auf das Ergebnis gekommen, dass ich im Ursprung lande??? Kann das sein?
>
> VG
> together
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Fr 13.11.2009 | | Autor: | together |
Vielen Dank an euch alle!
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