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| Aufgabe | Untersuchen sie die folgenden Funktionen f: [mm] \IC [/mm] -> [mm] \IC [/mm] auf komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie.
[mm] a)f(z)=z*\overline{z}
[/mm]
[mm] b)f(z)=z^{2}*\overline{z}
[/mm]
c)..
d).. |
Hallo alle zusammen,
wir haben mit komplexer Analysis gerade erst begonnen und ich habe so meine Schwierigkeiten damit.
Ich habe mich mal an Aufgabenteil a) Versucht, was an sich nicht sehr schwer aussieht und es wahrscheinlich auch nicht ist.
Wir haben definiert, dass eine komplexwertige Funktion f genau dann komplex differenzierbar in [mm] z_0 [/mm] ist, wenn der Differenzquotient:
[mm] \limes_{z\rightarrow z_0} \bruch{f(z_0)-f(z)}{z_0-z} [/mm] existiert.
So nun habe ich versucht diesen Grenzwert für beliebiges [mm] z_0 \in \IC [/mm] zu bestimmen und komme einfach zu keinem vernünftigen Ergebnis, da ich probleme habe beim Verständnis des Quotienten im Komplexen:
[mm] \limes_{z\rightarrow z_0} \bruch{f(z_0)-f(z)}{z_0-z}=\limes_{z\rightarrow z_0} \bruch{z_0*\overline{z_0}-z*\overline{z}}{z_0-z}
[/mm]
hier habe ich zunächst versucht im Zähler [mm] (z_0-z) [/mm] aus zu klammern und dann zu kürzen. Das geht nicht so ohne weiteres, wie ich feststellen musste.
Da mir sonst nichts weiter eingefallen ist, habe ich versucht, [mm] z_0 [/mm] und z in andere Form zu bringen, etwa so:
Setze [mm] z_0:= a_0+i*b_0 [/mm] und z:= a+i*b
[mm] \Rightarrow \limes_{z\rightarrow z_0} \bruch{{a_0}^{2}+{b_0}^2-a^2-b^2}{(a_0-a)-i*(b_0-b)}
[/mm]
Nur weiss ich jetzt nicht, wie ich diesen Grenzwert zu betrachten habe. Was heißt nun genau, der GW einer komplexen Zahl? macht das überhaupt sinn?
Ist das z.B. dasselbe wie [mm] \limes_{(a,b)\rightarrow (a_0,b_0)} \bruch{{a_0}^{2}+{b_0}^2-a^2-b^2}{(a_0-a)-i*(b_0-b)}
[/mm]
Naja wie auch immer, ich habe nun im weiteren versucht den Bruch um zu schreiben, komme aber auf keinen grünen Zweig.
Wie kann man genau zeigen, dass dieser GW existiert oder etwa divergiert?
Übrigens für [mm] z_0 [/mm] = 0+i*0 existiert der GW und ist gleich 0. Somit weiss ich, dass die Funktion für z=0 sehr wohl komplex Differenzierbar.
Es wäre sehr nett, wenn mir jemand hier behilflich sein könnte.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Für $h [mm] \not=0$ [/mm] bestimme zunächst
[mm] $\bruch{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$
[/mm]
Mit t [mm] \in \IR [/mm] setze einmal $h:= t$ und berechne obigen Quotienten und dann setze $h:= it$ und berchne ebenfalls obigen Quotienten.
Was fällt Dir auf ?
FRED
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wenn man obige Quotienten berechnet erhält man zwei verschiedene Grenzwerte. Für den Fall: [mm] z_0=a_0+i*b_0
[/mm]
erhält man einmal den GW [mm] 2*a_0 [/mm] und einmal [mm] 2*b_0.
[/mm]
Somit hätte man zwei verschiedene Werte für die Ableitung in [mm] z_0 [/mm] gefunden.
Wie ist das zu deuten? Heißt das nun anschaulich, dass in verschiedenen Richtungen (hier horizontal und vertikal) man verschiedene Ableitungen erhält im selben Punkt??
ich nehme mal an, dass dann f nicht komplex diffbar ist für beliebige Punkte [mm] z_0. [/mm]
Kannst du mir aber den genauen Grund dafür nennen, warum aus obigem "Phänomen" folgt, dass die Funktion nicht diffbar ist?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> wenn man obige Quotienten berechnet erhält man zwei
> verschiedene Grenzwerte. Für den Fall: [mm]z_0=a_0+i*b_0[/mm]
> erhält man einmal den GW [mm]2*a_0[/mm] und einmal [mm]2*b_0.[/mm]
>
> Somit hätte man zwei verschiedene Werte für die Ableitung
> in [mm]z_0[/mm] gefunden.
>
> Wie ist das zu deuten? Heißt das nun anschaulich, dass in
> verschiedenen Richtungen (hier horizontal und vertikal) man
> verschiedene Ableitungen erhält im selben Punkt??
> ich nehme mal an, dass dann f nicht komplex diffbar ist
> für beliebige Punkte [mm]z_0.[/mm]
> Kannst du mir aber den genauen Grund dafür nennen, warum
> aus obigem "Phänomen" folgt, dass die Funktion nicht
> diffbar ist?
Ist [mm] z_0 \not= [/mm] 0, so existiert [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(z_0+h)-f(z_0)}{h} [/mm] nicht, f ist also in [mm] z_0 [/mm] nicht komplex differenzierbar.
Wie sieht es im Punkt [mm] z_0=0 [/mm] aus ?
FRED
>
> Danke
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Das verstehe ich nicht Fred. Der Grenzwert des Quotienten existiert doch für [mm] z_0 \not= [/mm] 0. Nur ist dieser nicht eindeutig!
Ich vermute mal das gehört zur Definition von Diff'barkeit, dass der GW eindeutig sein muss.
für [mm] z_0 [/mm] = 0 existiert der GW und er ist eindeutig immer [mm] \overline{h}=0
[/mm]
Oder stimmt es nicht, dass es einen GW gibt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Das verstehe ich nicht Fred. Der Grenzwert des Quotienten
> existiert doch für [mm]z_0 \not=[/mm] 0. Nur ist dieser nicht
> eindeutig!
Aber das bedeutet doch gerade, dass der Grenzwert nicht existiert !!!!
>
> Ich vermute mal das gehört zur Definition von
> Diff'barkeit, dass der GW eindeutig sein muss.
Ja, er muß existieren
>
> für [mm]z_0[/mm] = 0 existiert der GW und er ist eindeutig immer
> [mm]\overline{h}=0[/mm]
????
>
> Oder stimmt es nicht, dass es einen GW gibt?
Doch: [mm] $\bruch{f(h)}{h} [/mm] = [mm] \overline{h} \to [/mm] 0$ für h [mm] \to [/mm] 0
FRED
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Alles klar, jetzt habe ich es verstanden.
Danke für deine Mühe Fred.
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