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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - komplexe Eigenräume
komplexe Eigenräume < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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komplexe Eigenräume: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 So 25.01.2009
Autor: AdiS

Aufgabe
Bestimmen Sie die komplexen Eigenwerte und Eigenräume im [mm] \IC² [/mm] der Matrix

[mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 2 } [/mm]

Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Gesucht sind die komplexen Eigenwerte und Eigenräume der Matrix

[mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 2 } [/mm]

Die Eigenwerte habe ich mit 2-i und 2+i heraus.

Um jetzt z.B. die Eigenvektoren für EW 2-i zu bestimmen habe ich folgendes Gleichungssystem

[mm] \pmat{ i & -1 \\ 1 & i } [/mm] = 0

bzw. ix + - y = 0
und  x + iy = 0

und stehe jetzt auf dem Schlauch. Ich weis dass als Lösung [mm] \vektor{1\\ i} [/mm] rauskommt, was ich durch "scharfes Hinsehen" nachvollziehen kann, jedoch versteh ich nicht den "mathematischen" Weg dahinter.

Dankeschön


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
komplexe Eigenräume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 So 25.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Adrian und herzlich [willkommenmr],

> Bestimmen Sie die komplexen Eigenwerte und Eigenräume im
> [mm]\IC²[/mm] der Matrix
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 2 }[/mm]
>  Hallo,
>  
> ich habe folgendes Problem:
>  
> Gesucht sind die komplexen Eigenwerte und Eigenräume der
> Matrix
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 2 }[/mm]
>  
> Die Eigenwerte habe ich mit 2-i und 2+i heraus. [ok]
>
> Um jetzt z.B. die Eigenvektoren für EW 2-i zu bestimmen
> habe ich folgendes Gleichungssystem
>  
> [mm]\pmat{ i & -1 \\ 1 & i }[/mm] = 0 [ok]
>  
> bzw. ix + - y = 0
>  und  x + iy = 0 [ok]

Addiere die erste Gleichung zum $(-i)$-fachen der 2.Gleichung und die 2. Gleichung wird zu $0=0$ (rechne es nach)

Damit bleibt die erste Gleichung in 2 Unbekannten x,y

Du hast also einen freien Parameter, setze etwa $y:=t$ mit [mm] $t\in\IC$ [/mm] und berechne die Lösung für x in Abh. von t ...

>  
> und stehe jetzt auf dem Schlauch. Ich weis dass als Lösung
> [mm]\vektor{1\\ i}[/mm] rauskommt, was ich durch "scharfes Hinsehen"
> nachvollziehen kann, jedoch versteh ich nicht den
> "mathematischen" Weg dahinter.

siehe oben, ein bisschen Rechnen mit komplexen Zahlen ...

nix wildes ;-)

>  
> Dankeschön
>  
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


LG

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
komplexe Eigenräume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:54 So 25.01.2009
Autor: AdiS

Hallo schachuzipus,

Besten Dank für die schnelle Antwort und den Tipp!

So langsam wird es etwas klarer. Ich werds gleich mal für die ganze Aufgabe durchrechnen.





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