komplexe Funktion, Nullstelle < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:50 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
| Aufgabe | | [mm] $D\subset\IC$ [/mm] beschränktes Gebiet, [mm] $f:D\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph, $|f|$ habe eine stetige Fortsetzung auf [mm] $\overline{D}$, [/mm] $|f|$ sein konstant auf dem Rand [mm] $\partial [/mm] D$. Zeige, dass $f$ entweder eine Nullstelle hat oder konstant ist. |
Ich bin momentan dabei meine Übung vorzubereiten und habe irgendwie keinen Ansatz für diese Aufgabe. Wäre schön, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Danke und Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:32 Di 28.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> [mm]D\subset\IC[/mm] beschränktes Gebiet, [mm]f:D\rightarrow\IC[/mm]
> holomorph, [mm]|f|[/mm] habe eine stetige Fortsetzung auf
> [mm]\overline{D}[/mm], [mm]|f|[/mm] sein konstant auf dem Rand [mm]\partial D[/mm].
> Zeige, dass [mm]f[/mm] entweder eine Nullstelle hat oder konstant
> ist.
>
> Ich bin momentan dabei meine Übung vorzubereiten und habe
> irgendwie keinen Ansatz für diese Aufgabe. Wäre schön, wenn
> mir jemand dabei helfen könnte.
Wenn $f$ keine Nullstelle in $D$ hat, schau dir doch mal $f$ und [mm] $\frac{1}{f}$ [/mm] an. Beide erfuellen die Voraussetzungen der Aufgabe. Wende jetzt das Maximumsprinzip auf beide Funktionen an und folgere, dass $|f|$ konstant ist. Wiederum aus dem Maximumsprinzip (oder elementarer ueber die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen) folgt schliesslich, dass $f$ konstant ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 Di 28.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo Felix,
wenn ich das richtig sehe, müssen wir also eine Fallunterscheidung machen.
1. Fall: f hat keine Nullstelle in D
2. Fall: f ist nicht konstant
Deine vorherige Antwort behandelt den 1.Fall. Wie mache ich das ganze im 2.Fall?
Danke schon einmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 Di 28.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Felix,
>
> wenn ich das richtig sehe, müssen wir also eine
> Fallunterscheidung machen.
>
> 1. Fall: f hat keine Nullstelle in D
> 2. Fall: f ist nicht konstant
nein. Die Fallunterscheidung lautet so:
1.Fall: f hat eine Nullstelle. Dann bist Du schon fertig !!
2. Fall: f hat keine Nullstelle. Dann hat Felix Dir gezeigt, dass f konstant ist
FRED
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> Deine vorherige Antwort behandelt den 1.Fall. Wie mache ich
> das ganze im 2.Fall?
>
> Danke schon einmal.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mi 29.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo
> (...) und folgere, dass [mm]|f|[/mm] konstant ist. Wiederum
> aus dem Maximumsprinzip (oder elementarer ueber die
> Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen) folgt
> schliesslich, dass [mm]f[/mm] konstant ist.
Ich verstehe nicht, warum ich dort nochmals das Maximumprinzip anwenden soll. Aus [mm] $f:D\rightarrow\IC$ [/mm] holomorph und [mm] $|f|:\overline{D}\rightarrow\IC$ [/mm] konstant folgt doch direkt [mm] $f:D\rightarrow\IC$ [/mm] konstant, oder?
Denn angenommen $f$ waere nicht konstant (wir koennen uns im Reellen etwa eine Treppenfunktion vorstellen, die den Wert $-2$ fuer [mm] $x\leqslant [/mm] 0$ und den Wert $2$ fuer $x>0$ annimmt. In diesem Fall waere $|f|$ konstant), so koennte $|f|$ zwar konstant sein, aber $f$ ist dann nicht mehr stetig in $D$, was ein Widerspruch zur Holomorphie in $D$ waere. Sehe ich das richtig?
Waere nett, wenn mir jemand nochmal kurz auf die Spruenge helfen koennte.
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mi 29.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > (...) und folgere, dass [mm]|f|[/mm] konstant ist. Wiederum
> > aus dem Maximumsprinzip (oder elementarer ueber die
> > Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen) folgt
> > schliesslich, dass [mm]f[/mm] konstant ist.
>
> Ich verstehe nicht, warum ich dort nochmals das
> Maximumprinzip anwenden soll. Aus [mm]f:D\rightarrow\IC[/mm]
> holomorph und [mm]|f|:\overline{D}\rightarrow\IC[/mm] konstant folgt
> doch direkt [mm]f:D\rightarrow\IC[/mm] konstant, oder?
>
> Denn angenommen [mm]f[/mm] waere nicht konstant (wir koennen uns im
> Reellen etwa eine Treppenfunktion vorstellen, die den Wert
> [mm]-2[/mm] fuer [mm]x\leqslant 0[/mm] und den Wert [mm]2[/mm] fuer [mm]x>0[/mm] annimmt. In
> diesem Fall waere [mm]|f|[/mm] konstant), so koennte [mm]|f|[/mm] zwar
> konstant sein, aber [mm]f[/mm] ist dann nicht mehr stetig in [mm]D[/mm], was
> ein Widerspruch zur Holomorphie in [mm]D[/mm] waere. Sehe ich das
> richtig?
Wir sind hier aber im komplexen, nicht im reellen. Die Menge der komplexen Zahlen mit Absolutbetrag $|f(z)|$ sind zusammenhaengend.
> Waere nett, wenn mir jemand nochmal kurz auf die Spruenge
> helfen koennte.
Das Maximumsprinzip besagt:
Ist $f : D [mm] \to \IC$ [/mm] holomorph und auf dem Rand stetig, so gilt [mm] $\sup_{z \in D} [/mm] |f(z)| [mm] \le \sup_{z \in \partial D} [/mm] |f(z)|$. Gleichheit gilt genau dann, wenn die Funktion konstant ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mi 29.04.2009 | | Autor: | Denny22 |
Dank Dir Felix. Jetzt habe ich es verstanden.
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