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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:02 Mi 15.07.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | | Lösen Sie die komplexe Gleichung [mm] $|z|^2 [/mm] = z+2-i$ |
Hallo Zusammen,
ich bin wie folgt vorgegangen:
[mm] $|z|^2 [/mm] = z+2-i$
$z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z = z+2-i$
$z [mm] (\bar [/mm] z - 1) = 2-i$ | nun sei: $z=x+iy$ -> [mm] $\bar [/mm] z = x-iy$
$(x+iy)(x-iy-1)=2-i$
[mm] $x^2-xiy-x+xiy-i^2y^2-iy=2-i$
[/mm]
[mm] $x^2-x+y^2-iy=2-i$
[/mm]
Damit beiden Seiten gleich sind, müssen Real- und Imaginärteil übereinstimmen:
[mm] $x^2-x+y^2 [/mm] = 2 -> [mm] x^2-x [/mm] = 1 -> [mm] x^2-x-1 [/mm] = 0$
$-y = -1 -> y = 1$
[mm] $x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{1 \pm \wurzel{5}}{2}$
[/mm]
-> [mm] $x_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2}$
[/mm]
-> [mm] $x_2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{5}}{2}$
[/mm]
Lösungen der komplexen Gleichung wären dann:
[mm] $z_1 [/mm] = [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] + i$
[mm] $z_2 [/mm] = [mm] \bruch{1+\wurzel{5}}{2} [/mm] - i$
Stimmt diese Lösung?
Gruß,
itse
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Leider ist schon deine zweite Zeile falsch... Denn:
$|z| = [mm] \sqrt{z \cdot \overline{z}}$
[/mm]
Als weiteren Tipp: Du hast links den Betrag stehen. Dieser ist immer reell, also ist der Imaginärteil $0$. Auf der rechten Seite hast du $z$ und $i$. Daraus kannst du den Imaginärteil von $z$ ablesen, der immer $+i$ sein muss.
MfG Sunny
PS: Den Betrag kann man auch als $|z| = [mm] \sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] schreiben. Damit bekommt man den Realteil relativ zügig berechnet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Mi 15.07.2009 | | Autor: | itse |
Danke für die Antwort.
Jedoch wurde das Quadrat nach den Betragsstrichen bei z auf der linken Seite nicht angezeigt. Habe es mit [mm] |z|^2 [/mm] probiert, nun wird das Quadrat angezeigt.
Deswegen habe ich die Frage auf unbeantwortet zurückgestellt.
Sorry,
itse
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> Stimmt diese Lösung?
Hallo,
ja, Du hast es richtig gemacht,
EDIT: mußt nun aber auch die gefundenen [mm] x_1, x_2, [/mm] y richtig in z=x+iy einsetzen.
Gruß v. Angela
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Hallo itse!
> -> [mm]x_1 = \bruch{1}{2} + \bruch{\wurzel{5}}{2}[/mm]
>
> -> [mm]x_2 = \bruch{1}{2} - \bruch{\wurzel{5}}{2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Bis dahin sieht es gut aus.
> Lösungen der komplexen Gleichung wären dann:
>
> [mm]z_1 = \bruch{1+\wurzel{5}}{2} + i[/mm]
>
> [mm]z_2 = \bruch{1+\wurzel{5}}{2} - i[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Wie kommst Du darauf? Der 2. Wert entspricht der Lösung mit $y \ = \ +1$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo itse!
Einfach einsetzen:
[mm] $$z_1 [/mm] \ = \ [mm] x_1+i*y$$
[/mm]
[mm] $$z_2 [/mm] \ = \ [mm] x_2+i*y$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:27 Mi 15.07.2009 | | Autor: | itse |
Jetzt sehe ich es auch, ein Tippfehler, auf meine Blatt steht es richtig.
Danke,
itse
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