komplexe Gleichung/Ungleichung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 Mi 15.07.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Bestimmen Sie von der folgenden Gleichung/Ungleichung jeweils die Lösungsmenge in [mm] \IC [/mm] und skizzieren Sie diese:
a, $z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z + 3z + [mm] 3\bar [/mm] z = 0$
b, [mm] $|z+2|^2+|z-2|^2 \le [/mm] 40$ |
Hallo,
bei der a, bin ich so vorgegangen:
$z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z + 3z + [mm] 3\bar [/mm] z = 0$
[mm] $x^2+y^2+3(x+iy)+3(x-iy)=0$
[/mm]
[mm] $x^2+y^2+3x+3xiy+3x-3iy=0$
[/mm]
[mm] $x^2+y^2+6x=0$
[/mm]
Nun weiß ich nicht wie es weitergehen soll?
b,
[mm] $|z+2|^2+|z-2|^2 \le [/mm] 40$
[mm] $(z+2)(\bar [/mm] z+ [mm] \bar 2)+(z-2)(\bar [/mm] z - [mm] \bar [/mm] 2) [mm] \le [/mm] 40$
$z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z + [mm] \bar [/mm] 2 [mm] \cdot{} [/mm] z + 2 [mm] \cdot{} \bar [/mm] z + [mm] 2\bar [/mm] 2 + z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z - [mm] \bar [/mm] 2 [mm] \cdot{} [/mm] z - 2 [mm] \bar [/mm] z + [mm] 2\bar [/mm] 2 [mm] \le [/mm] 40$
$2 z [mm] \cdot{} \bar [/mm] z + [mm] 2\bar [/mm] 2+ [mm] 2\bar [/mm] 2 [mm] \le [/mm] 40$ | [mm] \bar [/mm] 2 = 2-0 [mm] \cdot{} [/mm] i
[mm] $2(x^2+y^2) [/mm] + 4 +4 [mm] \le [/mm] 40$
[mm] $x^2+y^2 \le [/mm] 16$
[mm] \IL [/mm] = [mm] {x^2+y^2 \le 16, x,y \in \IR}
[/mm]
Somit wäre der maximale Bereich für x: -4 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4 zugleich y = 0
und für y: -4 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 4 zugleich x = 0
Grafisch müsste es doch einem Kreis mit dem Radius von 2 entsprechen, alle komplexen Zahlen innerhalb dieses Kreises liegen in der Lösungmenge?
Gruß
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Mi 15.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie von der folgenden Gleichung/Ungleichung
> jeweils die Lösungsmenge in [mm]\IC[/mm] und skizzieren Sie diese:
>
> a, [mm]z \cdot{} \bar z + 3z + 3\bar z = 0[/mm]
>
> b, [mm]|z+2|^2+|z-2|^2 \le 40[/mm]
> Hallo,
>
> bei der a, bin ich so vorgegangen:
>
> [mm]z \cdot{} \bar z + 3z + 3\bar z = 0[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2+3(x+iy)+3(x-iy)=0[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2+3x+3xiy+3x-3iy=0[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2+6x=0[/mm]
>
> Nun weiß ich nicht wie es weitergehen soll?
Hallo, das ist eine Quadratische Gleichunmg mit der Variablen x, es gilt p=6 und [mm] q=y^2. [/mm] Verwende also die p-q-Formel.
>
> b,
>
> [mm]|z+2|^2+|z-2|^2 \le 40[/mm]
>
> [mm](z+2)(\bar z+ \bar 2)+(z-2)(\bar z - \bar 2) \le 40[/mm]
>
> [mm]z \cdot{} \bar z + \bar 2 \cdot{} z + 2 \cdot{} \bar z + 2\bar 2 + z \cdot{} \bar z - \bar 2 \cdot{} z - 2 \bar z + 2\bar 2 \le 40[/mm]
>
> [mm]2 z \cdot{} \bar z + 2\bar 2+ 2\bar 2 \le 40[/mm] | [mm]\bar[/mm] 2 =
> 2-0 [mm]\cdot{}[/mm] i
>
> [mm]2(x^2+y^2) + 4 +4 \le 40[/mm]
>
> [mm]x^2+y^2 \le 16[/mm]
>
> [mm]\IL[/mm] = [mm]{x^2+y^2 \le 16, x,y \in \IR}[/mm]
Das ist eine Kreis(un-)gleichung für einen Kreis um den Urprung mit dem Radius r=VIER (nicht r=2)
Gruß Abakus
>
> Somit wäre der maximale Bereich für x: -4 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 4
> zugleich y = 0
>
> und für y: -4 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm] 4 zugleich x = 0
>
> Grafisch müsste es doch einem Kreis mit dem Radius von 2
> entsprechen, alle komplexen Zahlen innerhalb dieses Kreises
> liegen in der Lösungmenge?
>
> Gruß
> itse
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:44 Mi 15.07.2009 | | Autor: | itse |
> > [mm]x^2+y^2+6x=0[/mm]
> >
> > Nun weiß ich nicht wie es weitergehen soll?
> Hallo, das ist eine Quadratische Gleichunmg mit der
> Variablen x, es gilt p=6 und [mm]q=y^2.[/mm] Verwende also die
> p-q-Formel.
Dann erhalte ich:
[mm] x_1 [/mm] = -3 + [mm] \wurzel{9-y²}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = -3 - [mm] \wurzel{9-y²}
[/mm]
[mm] \IL [/mm] = [mm] x_1 [/mm] = -3 + [mm] \wurzel{9-y²} [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = -3 - [mm] \wurzel{9-y²}, [/mm] -3 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 3, y,x [mm] \in \IR
[/mm]
Kann man dies so schreiben, für die Lösungsmenge?
Für y bleibt nur der Bereich -3 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 3, ansonsten gibt es keine reellen Lösungen. Somit kann x diesen Bereich maximal erreichen:
[mm] x_1 [/mm] = 0 und [mm] x_2 [/mm] = -6
Grafisch gesehen würde dann doch ein Dreieck entstehen, auf der imaginären Achse +3 und -3 und auf der reellen Achse von 0 bis -6, alle Punkte auf dem Dreieck sind eine Lösung der Gleichung. Stimmt dies?
b,
> >
> > [mm]\IL[/mm] = [mm]{x^2+y^2 \le 16, x,y \in \IR}[/mm]
> Das ist eine
> Kreis(un-)gleichung für einen Kreis um den Urprung mit dem
> Radius r=VIER (nicht r=2)
> > Grafisch müsste es doch einem Kreis mit dem Radius von 2
> > entsprechen, alle komplexen Zahlen innerhalb dieses Kreises
> > liegen in der Lösungmenge?
Dies stimmt doch so nicht? Es müssten doch alle Punkte auf dem Kreis die Ungleichung erfüllen und nicht innerhalb des Kreises?
Grüße
itse
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Hallo itse!
> > > [mm]x^2+y^2+6x=0[/mm]
> Grafisch gesehen würde dann doch ein Dreieck entstehen,
> auf der imaginären Achse +3 und -3 und auf der reellen
> Achse von 0 bis -6, alle Punkte auf dem Dreieck sind eine
> Lösung der Gleichung. Stimmt dies?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") siehe unten
> Dies stimmt doch so nicht? Es müssten doch alle Punkte auf
> dem Kreis die Ungleichung erfüllen und nicht innerhalb des
> Kreises?
Doch. Genau weil es sich um eine Ungleichung mit [mm] $\le$ [/mm] handelt, sind auch die inneren Punkte in der Lösungsmenge.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo itse!
> [mm]x^2+y^2+6x=0[/mm]
>
> Nun weiß ich nicht wie es weitergehen soll?
Versuche nun mittels quadratischer Ergänzung auf die allgemeine Kreisgleichung zu kommen:
[mm] $$\left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] r^2$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Mi 15.07.2009 | | Autor: | itse |
> Hallo itse!
>
>
> > [mm]x^2+y^2+6x=0[/mm]
> >
> > Nun weiß ich nicht wie es weitergehen soll?
>
> Versuche nun mittels quadratischer Ergänzung auf die
> allgemeine Kreisgleichung zu kommen:
>
> [mm]\left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2 \ = \ r^2[/mm]
Damit komme ich dann soweit:
(x+3)²+(y-0)² = 0
Nur kann der Radius des Kreises nicht Null sein, es fehlt doch noch ein Glied mit y, um es in diese Form zu bringen?
Gruß
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo itse,
> > Hallo itse!
> >
> >
> > > [mm]x^2+y^2+6x=0[/mm]
> > >
> > > Nun weiß ich nicht wie es weitergehen soll?
> >
> > Versuche nun mittels quadratischer Ergänzung auf die
> > allgemeine Kreisgleichung zu kommen:
> >
> > [mm]\left(x-x_M\right)^2+\left(y-y_M\right)^2 \ = \ r^2[/mm]
>
>
> Damit komme ich dann soweit:
>
> (x+3)²+(y-0)² = 0
Du behauptest also, dass
[mm] $$\blue{x^2+y^2+6x}=0$$
[/mm]
zu
[mm] $$(x+3)^2+(y-0)^2 [/mm] = 0$$
äquivalent sei. Das ist nicht ganz richtig, wenn ich nämlich nachrechne:
[mm] $$(x+3)^2+(y-0)^2=\blue{x^2+6x}\red{+9}\blue{+y^2}=0\,.$$
[/mm]
Du solltest z.B. so rechnen (Stichwort: quadratische Ergänzung):
[mm] $$x^2+y^2+6x=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2+6x+y^2=0$$
[/mm]
und es gilt
[mm] $$x^2+6x=x^2+2x\;*3=x^2+2x*3+3^2-3^2=(x+3)^2-9,$$
[/mm]
also
[mm] $$x^2+6x+y^2=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x+3)^2-9+y^2=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x+3)^2+(y-0)^2=3^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x-(-3))^2+(y-0)^2=3^2\,.$$
[/mm]
Das sind im [mm] $\IR^2\;\;\big(\cong \IC\big)$ [/mm] alle Punkte auf der Kreislinie (hier: =Rand des Kreises) des Kreises mit Mittelpunkt $(-3,0)$ und Radius [mm] $3\,.$
[/mm]
In der komplexen Ebene:
[mm] $$\{z=x+i*y \in \IC=\IR+i*\IR:\;(x-(-3))^2+(y-0)^2=3^2\}=\{z \in \IC:\;|z-(-3+i*0)|^2=9\}$$
[/mm]
[mm] $$=\{z \in \IC:\;|z-(-3+i*0)|=3\}=\{z \in \IC:\;|z-(-3)|=3\}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo itse,
> b, [mm]|z+2|^2+|z-2|^2 \le 40[/mm]
[mm] $$|z+2|^2+|z-2|^2 \le [/mm] 40$$
[mm] $$\gdw (z+2)\overline{(z+2)}+(z-2)\overline{(z-2)}\le [/mm] 40$$
[mm] $$\gdw \underbrace{z\overline{z}}_{=|z|^2}+2\underbrace{\text{Re}(z)}_{=z+\overline{z}}+4+z\overline{z}-2\text{Re}(z)+4 \le [/mm] 40$$
[mm] $$\gdw [/mm] 2 [mm] |z|^2+8 \le [/mm] 40$$
[mm] $$\gdw |z|^2 \le [/mm] 16$$
[mm] $$\gdw [/mm] |z| [mm] \le \sqrt{16}=4\,.$$
[/mm]
(Beachte dabei: [mm] $\overline{z+2}=\overline{z}+\overline{2}=\overline{z}+2$ [/mm] etc..)
Das sind also genau alle komplexen Zahlen, deren Betrag [mm] $\le [/mm] 4$ ist bzw. die auf dem abgeschlossenen Kreis [mm] $\blue{(\star)}$ [/mm] um [mm] $0=0+0*i\,$ [/mm] mit Radius [mm] $4\,$ [/mm] liegen.
[mm] [blue]$\blue{(\star)}$ [/mm] Bemerkung:
Um Missverständnisse zu vermeiden möchte ich Als Kommentar einauen: Genauer ist damit die abgeschlossene Kreisscheibe gemeint![/blue]
Gruß,
Marcel
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> Das sind also genau alle komplexen Zahlen, deren Betrag [mm]\le 4[/mm]
> ist bzw. die auf dem abgeschlossenen Kreis um [mm]0=0+0*i\,[/mm] mit
> Radius [mm]4\,[/mm] liegen.
>
> Gruß,
> Marcel
Etwas präziser:
..... auf der abgeschlossenen Kreisscheibe .....
(Die Kreislinie allein bildet ebenfalls eine abgeschlossene Menge)
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:02 Do 16.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Das sind also genau alle komplexen Zahlen, deren Betrag [mm]\le 4[/mm]
> > ist bzw. die auf dem abgeschlossenen Kreis um [mm]0=0+0*i\,[/mm] mit
> > Radius [mm]4\,[/mm] liegen.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Etwas präziser:
>
> ..... auf der abgeschlossenen Kreisscheibe .....
>
> (Die Kreislinie allein bildet ebenfalls eine abgeschlossene
> Menge)
das ist vll. ein wenig Gebrauchssache. Ich bin es gewohnt, wenn ich eine offene Kreisscheibe meine, einfach von einem Kreis zu sprechen:
![[]](/images/popup.gif) Beispiel 9.2.2.
Deswegen sage ich dann auch meist, dass etwas "in einem Kreis" liegt. Aber Deine Sprechweise ist durchaus üblich (ob "üblicher", das weiß ich nicht), siehe etwa Wiki, Kreis.
Ich denke mal, dass das ganze halt wie so oft auch ein wenig Definitionssache ist, die vll. auch davon abhängt, ob man den Begriff eines Kreises im Sinne einer offenen (manchmal vll. sogar auch abgeschlossenen?!) Kreisscheibe, oder im Sinne des Randes einer Kreisscheibe, (z.B. innerhalb einer Vorlesung/Buches/Skriptes) häufiger verwenden wird.
Gruß,
Marcel
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Natürlich ist das Definitionssache. Aber ich
befürchte, dass auch viele Mathematiker, die
doch in Sachen Definitionen kompetent sein
sollten, mit folgenden widersprüchlichen Aus-
sagen leben:
1.) Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der
euklidischen Ebene, deren Abstand von
einem vorgegebenen Punkt M gleich einer
festen positiven reellen Zahl r ist.
2.) Der Kreis mit dem Radius r hat den Flächen-
inhalt $\ A\ =\ [mm] \pi*r^2$ [/mm] .
Ich nehme einmal an, dass auch einige, die dies
hier lesen, zweimal hingucken werden ... 
LG Al-Chwarizmi
Dazu noch eine kleine Übung:
| Aufgabe | Mit welcher Strichdicke muss man einen Kreis
zeichnen, damit der Flächeninhalt der gezeich-
neten "Kreislinie" gleich [mm] \pi*r^2 [/mm] ist ? |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Do 16.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Natürlich ist das Definitionssache. Aber ich
> befürchte, dass auch viele Mathematiker, die
> doch in Sachen Definitionen kompetent sein
> sollten, mit folgenden widersprüchlichen Aus-
> sagen leben:
>
> 1.) Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der
> euklidischen Ebene, deren Abstand von
> einem vorgegebenen Punkt M gleich einer
> festen positiven reellen Zahl r ist.
>
> 2.) Der Ein Kreis mit dem Radius r hat den Flächen-
> inhalt [mm]\ A\ =\ \pi*r^2[/mm] .
zum Glück verwende ich ja die Definition eines Kreises gemäß der einer (offenen) Kreisscheibe, d.h. ich würde dann schreiben:
1.) Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der euklidischen Ebene, deren Abstand von einem vorgegebenen Punkt M kleiner einer festen positiven reellen Zahl r ist.
(Wobei sich diese Definition auch allgemeiner in metrischen Räumen formulieren lassen würde.)
Und damit würde dann auch die zweite Aussage zu der ersten zusammenpassen. Wir sollten uns aber auch nicht darauf versteifen, zumal sich oft auch aus dem Zusammenhang ergibt, was nun genau mit dem Begriff "Kreis" gemeint ist.
> Ich nehme einmal an, dass auch einige, die dies
> hier lesen, zweimal hingucken werden ...
Vermutlich.
> LG Al-Chwarizmi
>
>
>
> Dazu noch eine kleine Übung:
>
> Mit welcher Strichdicke muss man einen Kreis
> zeichnen, damit der Flächeninhalt der gezeich-
> neten "Kreislinie" gleich [mm]\pi*r^2[/mm] ist ?
Auch diese Übungsaufgabe könnte man ja schon in ihrer Formulierung bemängeln, aber hier geht es ja eigentlich um den Flächeninhalt eines Kreisringes, wobei der "kleinere Kreis" Radius [mm] $r_1$ [/mm] habe, der "größere" [mm] $r_2$ [/mm] und [mm] $r=\frac{r_1+r_2}{2}$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Natürlich ist das Definitionssache. Aber ich
> > befürchte, dass auch viele Mathematiker, die
> > doch in Sachen Definitionen kompetent sein
> > sollten, mit folgenden widersprüchlichen Aus-
> > sagen leben:
> >
> > 1.) Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der
> > euklidischen Ebene, deren Abstand von
> > einem vorgegebenen Punkt M gleich einer
> > festen positiven reellen Zahl r ist.
> >
> > 2.) Der Ein Jeder Kreis mit dem Radius r hat
> > den Flächeninhalt [mm]\ A\ =\ \pi*r^2[/mm] .
>
> zum Glück verwende ich ja die Definition eines Kreises
> gemäß der einer (offenen) Kreisscheibe, d.h. ich würde
> dann schreiben:
>
> 1.) Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der euklidischen
> Ebene, deren Abstand von einem vorgegebenen Punkt M kleiner
> einer festen positiven reellen Zahl r ist.
Gegen diese "alternative" Definition des Begriffes "Kreis"
möchte ich mich doch ziemlich vehement zur Wehr setzen
und halte mich da lieber an die Erläuterung in Wikipedia:
Nach der gegebenen Definition ist ein Kreis eine Kurve,
also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimen-
sionale Fläche. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau für
die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man
zur Verdeutlichung häufig die Begriffe Kreislinie oder
Kreisrand anstatt Kreis – im Gegensatz zur Kreisfläche
oder (geschlossenen) Kreisscheibe. Diese ist definiert als
die Menge aller Punkte der Ebene, deren Abstand von M
höchstens r ist. Das Innere dieser Fläche bezeichnet man
als offene Kreisscheibe. Ihre Punkte haben von M einen
Abstand kleiner als r.
> > Dazu noch eine kleine Übung:
> >
> > Mit welcher Strichdicke muss man einen Kreis
> > zeichnen, damit der Flächeninhalt der gezeich-
> > neten "Kreislinie" gleich [mm]\pi*r^2[/mm] ist ?
> Auch diese Übungsaufgabe könnte man ja schon in ihrer
> Formulierung bemängeln, aber hier geht es ja eigentlich um
> den Flächeninhalt eines Kreisringes, wobei der "kleinere
> Kreis" Radius [mm]r_1[/mm] habe, der "größere" [mm]r_2[/mm] und
> [mm]r=\frac{r_1+r_2}{2}[/mm] ist.
Natürlich habe ich dies auch genau so gemeint
und mit Absicht nicht einfach vom "Flächeninhalt
der Kreislinie" gesprochen, sondern vom Flächen-
inhalt der "gezeichneten Kreislinie" - was man
zeichnet ist ja eben nicht ein Kreis, sondern eine
"Linie" bzw. Streifen oder ein Ring einer gewis-
sen Breite.
Nebenbei: wenn man auf Exaktheit der Defini-
tionen Wert legt, hat man natürlich analoge
Schwierigkeiten bei Begriffen wie "Dreieck",
"Flächeninhalt eines Dreiecks".
Damit wir jetzt aber nicht noch ganz in das Milieu
der sauren Gurken (Essig) absinken, sollten
wir diese Diskussion wohl jetzt beenden ...
Gruß  Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:26 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > zum Glück verwende ich ja die Definition eines Kreises
> > gemäß der einer (offenen) Kreisscheibe, d.h. ich würde
> > dann schreiben:
> >
> > 1.) Ein Kreis ist die Menge aller Punkte der euklidischen
> > Ebene, deren Abstand von einem vorgegebenen Punkt M kleiner
> > einer festen positiven reellen Zahl r ist.
>
> Gegen diese "alternative" Definition des Begriffes "Kreis"
> möchte ich mich doch ziemlich vehement zur Wehr setzen
> und halte mich da lieber an die Erläuterung in Wikipedia:
ich sagte ja auch nicht, dass Du diese akzeptieren musst/sollst, sondern nur, dass ich sie benutze, weil ich sie auch (aus "gebrauchstechnischen" Gründen) so kennengelernt habe. Übrigens ist mir erst durch diese Diskussion hier klargeworden, warum mein Prof. in der Funktionentheorie immer von "Kreisscheiben" gesprochen hat, wo für mich doch eh immer klar war, dass damit ein "Kreis" gemeint war; weil ich halt die Definition, die Du vehement ablehnst, aber so kennen- und zu benutzen gelernt habe. Nur mal nebenbei:
Gegen Definition sollte man sich eigentlich niemals wirklich wehren... wie gesagt: Je nach Vorlesung/Literatur kann es durchaus Sinn machen, einfach von einem Kreis zu sprechen, auch wenn man damit immer Kreisscheiben meint. Ich finde das durchaus auch "zweckdienlich". Man sollte halt nur möglichst auch darauf hinweisen, dass die Begriffe auch in anderer Literatur anders definiert sein könnten...
> Nach der gegebenen Definition ist ein Kreis eine Kurve,
> also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimen-
> sionale Fläche. Da das Wort „Kreis“ aber oft ungenau
> für
> die eingeschlossene Fläche benutzt wird, verwendet man
> zur Verdeutlichung häufig die Begriffe Kreislinie oder
> Kreisrand anstatt Kreis – im Gegensatz zur Kreisfläche
> oder (geschlossenen) Kreisscheibe. Diese ist definiert als
> die Menge aller Punkte der Ebene, deren Abstand von M
> höchstens r ist. Das Innere dieser Fläche bezeichnet man
> als offene Kreisscheibe. Ihre Punkte haben von M einen
> Abstand kleiner als r.
>
>
> > > Dazu noch eine kleine Übung:
> > >
> > > Mit welcher Strichdicke muss man einen Kreis
> > > zeichnen, damit der Flächeninhalt der gezeich-
> > > neten "Kreislinie" gleich [mm]\pi*r^2[/mm] ist ?
>
>
> > Auch diese Übungsaufgabe könnte man ja schon in ihrer
> > Formulierung bemängeln, aber hier geht es ja eigentlich um
> > den Flächeninhalt eines Kreisringes, wobei der "kleinere
> > Kreis" Radius [mm]r_1[/mm] habe, der "größere" [mm]r_2[/mm] und
> > [mm]r=\frac{r_1+r_2}{2}[/mm] ist.
>
>
> Natürlich habe ich dies auch genau so gemeint
> und mit Absicht nicht einfach vom "Flächeninhalt
> der Kreislinie" gesprochen, sondern vom Flächen-
> inhalt der "gezeichneten Kreislinie" - was man
> zeichnet ist ja eben nicht ein Kreis, sondern eine
> "Linie" bzw. Streifen oder ein Ring einer gewis-
> sen Breite.
>
> Nebenbei: wenn man auf Exaktheit der Defini-
> tionen Wert legt, hat man natürlich analoge
> Schwierigkeiten bei Begriffen wie "Dreieck",
> "Flächeninhalt eines Dreiecks".
Das ist ein wenig relativ. Wenn man dann nochmal ganz genau sein will, sollte man sich auch ein wenig mit der Lebesgueschen Maßtheorie auseinandersetzen...
> Damit wir jetzt aber nicht noch ganz in das Milieu
> der sauren Gurken (Essig) absinken, sollten
> wir diese Diskussion wohl jetzt beenden ...
Naja, sooo schlimm' fand/finde ich dieses Diskussionsthema noch nicht. Aber ich denke, es ist nun deutlich geworden, dass man, wenn man entsprechende Literatur zur Hand hat, vll. doch mal etwas mehr drauf achtet, dass man die zugehörige Definition mancher Begriffe innerhalb dieser Literatur nochmal nachliest und mit diesen Definitionen dann arbeitet. Natürlich bleibt es dann auch dem Leser überlassen, ob er dann innerhalb der Literatur das ganze für sich selbst nochmal umformuliert. Und wenn jemand etwas von einem "offenen Kreis" oder so etwas liest, dann liegt es eigentlich nahe, zu vermuten, dass damit dann eigentlich die "offene Kreisscheibe" gemeint ist.
In der mir vorliegenden Literatur zur Algorithmischen Geometrie ist das ganze sogar noch ein wenig verzwickter:
Wenn man dort [mm] $n\,$ [/mm] Punkte im [mm] $\IR^2$ [/mm] hat und mit diesen die konvexe Hülle bildet, so steht dort z.B., dass diese Hülle eine endliche Folge von Punkten des [mm] $\IR^2$, [/mm] notiert als [mm] $k\,$-Tupel [/mm] (gegen den Uhrzeigersinn sortiert), sei. In Wahrheit ist natürlich nicht diese Folge die konvexe Hülle, sondern es sind die Eckpunkte der konvexen Hülle; und mithilfe dieser kann man die Kanten und damit den Rand der konvexen Hülle konstruieren etc. pp.
Und manchmal werden auch bei gewissen Beweisen einmal die mathematische Definition benutzt (Schnitt über alle konvexe Obermengen), und dann, gerade, wenn es um algorithmische Betrachtungen geht, spricht man von der konvexen Hülle, wenn man eigentlich nur die entsprechenden Ecken (bzw. eine "Eckenfolge") meint.
Deswegen, wie gesagt: Man sollte sich da vll. nicht allzusehr auf etwas versteifen...
Ähm Sorry, eigentlich wollten wir die Diskussion ja nicht wirklich fortführen, jetzt steht doch wieder einiges dazu da.. Naja, entschuldige
Gruß,
Marcel
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