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Forum "Uni-Sonstiges" - komplexe Nullstellen
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komplexe Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Fr 29.06.2007
Autor: macio

Aufgabe
Bestimmen Sie alle koomplexen Nullstellen der Gleichung
[mm] z^4 [/mm] + [mm] \wurzel{3}z^2 [/mm] +1 = 0

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weis dass ich das mit Polynomdivion lösen kann aber ich komme nicht drauf durch was ich [mm] z^4 [/mm] + [mm] \wurzel{3}z^2 [/mm]  + 1 = 0 Teilen soll?

        
Bezug
komplexe Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 Fr 29.06.2007
Autor: Somebody


> Bestimmen Sie alle koomplexen Nullstellen der Gleichung
>  [mm]z^4[/mm] + [mm]\wurzel{3}z^2[/mm] +1 = 0
>  Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weis
> dass ich das mit Polynomdivion lösen kann aber ich komme
> nicht drauf durch was ich [mm]z^4[/mm] + [mm]\wurzel{3}z^2[/mm]  + 1 = 0
> Teilen soll?  

Diese Gleichung ist bi-quadratisch. Substituiere also erst einmal [mm]u := z^2[/mm] und löse die quadratische Gleichung [mm]u^2+\sqrt{3}u+1=0[/mm]. Dies ergibt bis zu zwei Lösungen [mm]u_{1,2}[/mm]. Dann gehst Du zurück und löst die beiden Gleichungen [mm]z^2=u_1[/mm] und [mm]z^2=u_2[/mm]. Insgesamt kannst Du somit bis zu vier verschiedene Lösungen erhalten.


Bezug
                
Bezug
komplexe Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:51 Di 03.07.2007
Autor: macio

Also :
[mm] u^2+\wurzel{3}u+1=0 [/mm]

[mm] x_1_,_2 [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} \pm \wurzel{\bruch{3}{4} -1} [/mm]
              =0,866 [mm] \pm \wurzel{i^2*0,25} [/mm]
              =0,866 [mm] \pm \bruch{1}{2}i [/mm]

Oder????

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Bezug
komplexe Nullstellen: fast ...
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 Di 03.07.2007
Autor: Loddar

Hallo macio!


Ein kleiner (aber sehr beliebter ;-) ) Vorzeichenfehler hat sich eingeschlichen. Es muss heißen:

[mm] $x_{1,2} [/mm] \ =  \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} \pm \wurzel{\bruch{3}{4} -1} [/mm] \ = \ [mm] \red{-}\bruch{1}{2}*\wurzel{3}\pm\bruch{1}{2}*i$ [/mm]


Gruß
Loddar


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Bezug
komplexe Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Di 03.07.2007
Autor: macio

ok, danke! Und sonst ist die Aufgabe gelöst oder fehlt da noch etwas?

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Bezug
komplexe Nullstellen: Re-Substitution
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Di 03.07.2007
Autor: Loddar

Hallo macio!


Die Aufgabe ist noch nicht fertig ... Du musst ja die Lösungen für [mm] $\red{z}$ [/mm] finden und nicht für [mm] $\red{u}$ [/mm] ...


Von daher musst Du nun noch [mm] $z_{1,2,3,4} [/mm] \ = \ [mm] \pm\wurzel{u_{1,2}} [/mm] \ = \ [mm] \pm\wurzel{\bruch{-\wurzel{3}\pm i}{2}} [/mm] \ = \ ...$ bestimmen.


Gruß
Loddar


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Bezug
komplexe Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Di 03.07.2007
Autor: macio

Oha! Ich habe ehrlich keine Ahnung wie man das weiter machen sollte?

Bezug
                                                        
Bezug
komplexe Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:06 Di 03.07.2007
Autor: leduart

Hallo
du hast doch jetzt [mm] z_1^2=u1 [/mm] und [mm] z_2^2=u_2 [/mm]
also musst du noch die Wurzeln aus [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] ziehen.
Gruss leduart

Bezug
                                                                
Bezug
komplexe Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:35 Do 05.07.2007
Autor: macio

[mm] \pm\wurzel{\bruch{-\wurzel{3}\pm i}{2}} [/mm]  
Man kann doch aus einer negativen Zahl kein Wurzel ziehen!
Und, wenn.. dann haben wir nähmlich [mm] \wurzel{i} [/mm] ....

Bezug
                                                                        
Bezug
komplexe Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Do 05.07.2007
Autor: leduart

Hallo
> [mm]\pm\wurzel{\bruch{-\wurzel{3}\pm i}{2}}[/mm]  
> Man kann doch aus einer negativen Zahl kein Wurzel ziehen!

Wozu wurden wohl die komplexen Zahlen eingeführt? was ist [mm] \wurzel{-1}? [/mm]
quadriere mal [mm] 1/\wurzel{2}*(1+i)! [/mm] und [mm] -1/\wurzel{2}*(1+i) [/mm]
Quadrier danach irgendeine von dir ausgesuchte komplexe Zahl!
kannst du aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen?
Zeichne ausserdem die Zahl, und ihr Quadrat als Pfeil von = aus in die komplexe Ebene! fällt dir was auf? (achte auf die Winkel zur x-Achse, und auf die Längen!
irgendwie hast du das rechnen mit komplexen Zahlen noch nicht kapiert! Deshalb solltest du deine Vorstellung dringend durch die Darstellung der Zahlen verbessern. also 2 komplexe Zahlen einzeichnen und ihr Produkt, wenn du kannst auch ihren Quotienten (Summe und Differenz sind hoffentlich schon klar, sonst das auch noch.)

Gruss leduart

Bezug
                                                                                
Bezug
komplexe Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Do 05.07.2007
Autor: macio

Also:

[mm] \pm \wurzel{\bruch{-\wurzel{3} * \wurzel{i^2*1}}{2}} [/mm]

= [mm] \pm \bruch{-3i} {\wurzel{2}} [/mm]



Bezug
                                                                                        
Bezug
komplexe Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Do 05.07.2007
Autor: leduart

Hallo
Was hat das mit meiner Antwort zu tun? hast du irgendwas mit der angefangen?

> Also:
>  
> [mm]\pm \wurzel{\bruch{-\wurzel{3} * \wurzel{i^2*1}}{2}}[/mm]

wie kommst du von
[mm]\pm \wurzel{\bruch{-\wurzel{3} +i}{2}}[/mm]  aus dem post vorher auf den Ausdruck oben, versteh ich Bahnhof.

>  
> = [mm]\pm \bruch{-3i} {\wurzel{2}}[/mm]

und wie dann darauf? das wenigstens kannst du doch quadreiren, dann hast du -9/2 und das hat mit dem darüber auch nix zu tun!
Und auf so posts ohne jede... werd wenigstens ich nicht mehr antworten.
Gruss leduart


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