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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:57 So 17.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Stellen Sie die folgenden komplexen Zahlen in der Form [mm] a+b_i [/mm] mit [mm] a,b\in \IR [/mm] dar.
a) $z = [mm] (2i-3)^3-i$
[/mm]
b) [mm] $z=\br{1-i}{2+i}$
[/mm]
c) [mm] $z=\frac{(i+2)^2}{3+4i}$ [/mm] |
Hallo
zu a) Was soll ich da denn machen? Ich habe das einfach mal ausmultipliziert und komme dann auf die Lösung
[mm] $8i^3 [/mm] - [mm] 36i^2 [/mm] + 53i - 27$
Kann ja so nicht richtig sein.
Wenn ich jetzt i ausklammere, hilft mir das wohl auch nicht?
[mm] $i(8i^2-36i+53)-27 [/mm] = i(i(8i-36)+53)-27$
Kann ja so nicht gemeint sein?
b) [mm] $z=\br{1-i}{2+i}$
[/mm]
Ist das nicht äquivalenz zur Formel [mm] $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$ [/mm] nur dass ich dann ein paar Minuszeichen ändere, also
a=1
b=-1
c=2
d=1
einfach stumpf eingesetzt
[mm] $\br{1-i}{2+i}=\frac{1*2+(-1)*1}{2^2+1^2}+\frac{(-1)*2-1*1}{2^2+1^2}i$
[/mm]
c) [mm] $\frac{(i+2)^2}{3+4i}$
[/mm]
ich dachte mir, ich rechne erst einmal
(i+2)*(i+2) nach der Formel
(a+bi)(c+di) = (a+c)+(b+d)i
a=c=2
b=d=1
[mm] $(i+2)^2=(2+2)+(1+1)i=4+2i$
[/mm]
Und nun würde ich folgendes berechne:
[mm] $\frac{4+2i}{3+4i}$
[/mm]
Ich denke mal, dass Aufgabe b und c so in Ordnung wären, aber bei Aufgabe a habe ich gra keine Ahnung.
Ich meine, ich könnte natürlich berechnen
(2i-3)*(2i-3)*(2i-3) nach der Formel für die Multiplikation, aber dann wüsste ich nicht, wie ich hinterher das i wieder abziehe.
Daher habe ich es stumpf mit ausmultiplizieren nach dem PAscalschen Dreieck versucht.
![[help]](/images/smileys/help.gif "[help]")
Gruß von
Johann
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Hi, Phoney,
> zu a) Was soll ich da denn machen? Ich habe das einfach mal
> ausmultipliziert und komme dann auf die Lösung
> [mm]8i^3 - 36i^2 + 53i - 27[/mm]
Bist halt noch nicht ganz fertig! Bedenke, dass [mm] i^{2} [/mm] = -1 ist und Du kannst schreiben:
-8i + 36 + 53i - 27 = 9 + 45i.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 So 17.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
Danke schon einmal für die Antwort!
Mich würde jetzt auch einmal interessieren, ob Aufg. b und c so in Ordnung sind (ich poste sie noch mal)
b) $ [mm] z=\br{1-i}{2+i} [/mm] $
Ist das nicht äquivalenz zur Formel $ [mm] \frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i [/mm] $ nur dass ich dann ein paar Minuszeichen ändere, also
a=1
b=-1
c=2
d=1
einfach stumpf eingesetzt
$ [mm] \br{1-i}{2+i}=\frac{1\cdot{}2+(-1)\cdot{}1}{2^2+1^2}+\frac{(-1)\cdot{}2-1\cdot{}1}{2^2+1^2}i [/mm] $
c) $ [mm] \frac{(i+2)^2}{3+4i} [/mm] $
ich dachte mir, ich rechne erst einmal
(i+2)*(i+2) nach der Formel
(a+bi)(c+di) = (a+c)+(b+d)i
a=c=2
b=d=1
$ [mm] (i+2)^2=(2+2)+(1+1)i=4+2i [/mm] $
Und nun würde ich folgendes berechne:
$ [mm] \frac{4+2i}{3+4i} [/mm] $
Gruß,
Johann
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Also zu b)
du erweiterst mit dem konjugierten Komplex:
=[mm]\bruch{(1-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)[/mm]
=[mm]\bruch{2+i²-2i-i}{4-i²-2i+2i}[/mm]
=[mm]\bruch{2+i²-3i}{4-i²}[/mm]
i²=-1
=[mm]\bruch{1-3i}{5}[/mm]
=[mm]\bruch{1}{5}[/mm][mm]-\bruch{3}{5}i [/mm]
zu c)
=[mm]\bruch{(i+2)(i+2)}{3+4i}[/mm]
weiter so wie oben einfach ausmultiplizieren
=[mm][mm] \bruch{3+4i}{3+4i}
[/mm]
=1
hilft dir das???
Viele Grüße
chipsy_101
P.S. ich hab übrigens irgendwie falsch geklickt deshalb ist es jetzt eine Mitteilung sorry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 So 17.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo
> Also zu b)
>
> du erweiterst mit dem konjugierten Komplex:
>
> =[mm]\bruch{(1-i)(2-i)}{(2+i)(2-i)[/mm]
> =[mm]\bruch{2+i²-2i-i}{4-i²-2i+2i}[/mm]
> =[mm]\bruch{2+i²-3i}{4-i²}[/mm]
>
> i²=-1
>
> =[mm]\bruch{1-3i}{5}[/mm]
> =[mm]\bruch{1}{5}[/mm][mm]-\bruch{3}{5}i[/mm]
Sehr schön gemacht, danke!
> zu c)
>
> =[mm]\bruch{(i+2)(i+2)}{3+4i}[/mm]
> weiter so wie oben einfach ausmultiplizieren
> =[mm][mm] \bruch{3+4i}{3+4i}[/mm]
=1
hilft dir das???
Noch nicht ganz, was soll der letzte Bruch [mm] \bruch{3+4i}{3+4i} [/mm] bedeuten?
Erweitern wir da noch einmal mit etwas?
Oder soll ich einfach
[mm] \bruch{(i+2)(i+2)}{3+4i}
[/mm]
den Zähler ausmultiplizieren und dann mit 3-4i erweitern? (Ähnlich hast du es ja auch bei Aufg. b gemacht)
Schönen Gruß
Johann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 So 17.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Phoney!
Multipliziere einfach mal $(i+2)*(i+2) \ = \ [mm] (i+2)^2$ [/mm] aus und wende [mm] $i^2 [/mm] \ = \ -1$ an. Was erhältst Du?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 So 17.12.2006 | | Autor: | chipsy_101 |
Also:
=[mm]\bruch{(i+2)(i+2)}{(3+4i)}[/mm]
=[mm]\bruch{i²+4+2i+2i}{3+4i}[/mm]
=[mm]\bruch{-1+4+4i}{3+4i}[/mm]
=[mm]\bruch{3+4i}{3+4i}[/mm]
Und dann musst du einfach kürzen!!
Was ist zum Beispiel 4/4?
Genau 1
Das ist das Gleiche wie oben
Jetzt okay???
Viele Grüße
chipsy_101
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:08 Mo 18.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo!
Vielen Dank euch allen für die hilfreichen Antworten.
Mfg
Phoney
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