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Ein herzliches hallo an euch alle.
Ich habe eine Frage bzgl. komplexe Zahlen.
Wir habe 2 Aufgaben bekommen, bei denen ich teilweise nicht weiterkomme.
Aufgabe 1 : Bestimmen sie Real- und Imaginärteil, sowie den Betrag der folgenden komplexen Zahlen:
a) [mm] \bruch{3+5i}{7i+1}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{ (3-i)^{2}}
[/mm]
c) [mm] (\bruch{-1+i \wurzel{3}}{2})^{3}
[/mm]
d) [mm] i^{n} [/mm] für n [mm] \in \IN_{0} [/mm]
2. Aufgabe: Bestimmen und skizzieren Sie in der koplexen Zahlenebene die folgenden Mengen:
a) [mm] \{z \in \IC | Im z^{2} > c \}, [/mm] c [mm] \in \IR [/mm] fest
b) [mm] \{z \in \IC | |z-i| + |z+i| < 4 \}
[/mm]
c) [mm] \{z \in \IC | |z-a| = |1- \overline{a}z| \}, [/mm] a [mm] \in \IC [/mm] fest
Zu Aufgabe 1)
Bei a) bekam ich für den Realteil [mm] \bruch{2}{3} [/mm] , den Imaginärteil [mm] \bruch{1}{3}i [/mm] und für den Betrag [mm] \wurzel{ \bruch{1}{3}} [/mm] raus. Stimmt das ??
zu b) Realteil [mm] \bruch{1}{5} [/mm] Imaginärteil - [mm] \bruch{2}{15}i [/mm]
Betrag [mm] \wurzel{\bruch{1}{45}} [/mm] , stimmt das ?
zu c ) und d) fehlt mir irgendwie der Ansatz, ich weiß nicht, wie ich ran gehen soll. Wäre nett, wenn mir dabei jemand helfen könnte.
Bei Aufgabe 2 ist das Problem, dass ich gar nicht weiß, was ich da machen soll und würde mich auch über Lösungsansätze freuen.
Danke schonmal
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Internetseite gestellt !!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 So 16.01.2005 | | Autor: | KingMob |
Hallo!
Zu deiner ersten Frage :
1) z = [mm] \bruch{3+5i}{7i+1} [/mm] * [mm] \bruch{-7i+1}{-7i+1} [/mm] = [mm] \bruch{38-16i}{50} [/mm] = [mm] \bruch{19}{25} [/mm] - [mm] \bruch{8}{25} [/mm] i
Demnach : Re(z) = [mm] \bruch{19}{25} [/mm] und Im(z) = [mm] -{\bruch{8}{25}} [/mm] (ohne i !!!) sowie |z| = [mm] {\wurzel{({\bruch{19}{25}})^2 + (-{\bruch{8}{25}})^2}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{17}}{5}
[/mm]
2) z = [mm] \bruch{2}{25} [/mm] + [mm] \bruch{3}{50} [/mm] i
3) z = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{3}}{4} [/mm] i
4) [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 : [mm] i^{n} [/mm]
= i (für n=4k+1)
= -1 (für n=4k+2)
= -i (für n=4k+3)
= 1 (für n=4k+4) (k [mm] \in \IN)
[/mm]
MfG
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Hi, zunächst mal Danke für deine rasche Antwort.
Habe aber bzgl. dieser noch ein paar Fragen.
Zu der ersten, dort hatte ich mit 7i - 1 erweitert und nicht wie du mit -7i + 1. Aber das ist schon richtig, wie du es gemacht hast ??!! 
Bei der zweiten, genau so.
Die vierte Aufgabe versteh ich allerdings nicht, wie kommst du da auf
n= 4k + ... ??
Und zu meiner zweiten haste nicht zufällig auch ne Idee ???
Ich würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Gruß Chironimus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mo 17.01.2005 | | Autor: | KingMob |
Zu Frage 1 nochmal : Das Ziel liegt darin, den Nenner der komplexen Zahl rational zu machen, und zwar indem man den Nenner mit der konjugiert komplexen Zahl erweitert. Bspw. zu 7i-1 ist -7i-1 die konjugiert komplexe Zahl (mehr Infos : siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Konjugation_(Mathematik)).
Bei der vierten Aufgabe setzt du zunächst einfach beliebige Werte n [mm] \ge [/mm] 1 ein und stellst fest, dass sich die Werte von [mm] i^{n} [/mm] periodisch wiederholen. Z.B. [mm] i^{n} [/mm] = -1 für n [mm] \in \{2,6,10,...\}, [/mm] also für n=4k+2 mit k [mm] \in \IN \cup \{0\}.
[/mm]
Zu Frage 2 : Hier sollst du die Ausdrücke umformen mithilfe diverser Eigenschaften komplexer Zahlen, insbesondere z=x+iy , [mm] |z|=\wurzel{x^{2}+y^{2}} [/mm] , um im Endeffekt (Un)Gleichungen mit x,y zu erhalten, und daraus eine geometrische Interpretation abzuleiten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:36 Di 18.01.2005 | | Autor: | Chironimus |
Hey, ich dank dir, jetzt hab ichs vertsanden !
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:01 Mi 19.01.2005 | | Autor: | michael7 |
Hallo,
> 3) z = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{3}}{4}[/mm] i
ich habe es jetzt zweimal nachgerechnet und bekomme immer 1 als Ergebnis. Kann es sein, dass Du Dich bei obiger Loesung vertan hast oder habe ich einen Fehler drin?
Michael
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:48 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Michael,
Du hast recht. Auch ich erhalte:
[mm] $\left( \bruch{-1 \ + \ i*\wurzel{3}}{2} \right)^3 [/mm] \ = \ 1$
Grüße
Loddas
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