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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | | Zeigen sie: Für alle c Element C hat Gleichung [mm] z^2=c [/mm] höchstens zwei Lösungen in C |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Wir haben die Aufagbe bekommen:
Zeigen sie : für alle c Element C hat die Gleichung [mm] z^2=c [/mm] höchstens 2 Lösungen in C. kann mir jemand helfen?
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Hallo!
Da kann man die 3. binomische Formel einsetzen, die natürlich auch in den komplexen Zahlen gilt.
Angenommen, es gibt komplexe Zahlen $z,w [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $z^2 [/mm] = c$ und [mm] $w^2 [/mm] = c$.
Dann folgt doch [mm] $z^2 [/mm] - [mm] w^2 [/mm] = c - c = 0$. Die linke Seite kann man nun faktorisieren. Was folgt für z und w?
Viel Erfolg!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
Ja unser Lehrer sagte auch wir sollen die 3.bin.Formel anwenden aber ich versteh das nicht . Ich wollte einfach nur für z=x mal iy einsetzten. Aber ich hab echt keine Ahnung!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja unser Lehrer sagte auch wir sollen die 3.bin.Formel
> anwenden aber ich versteh das nicht .
lies' das nochmal, was Gnometech geschrieben hat (ich schreibe mal [mm] $z_0,w_0$ [/mm] anstelle von [mm] $z,\,w$ [/mm] für (je) eine Lösung der Gleichung [mm] $z^2=c$):
[/mm]
[mm] $$z_0^2-w_0^2=0\,.$$
[/mm]
Das kannst Du nun umschreiben zu
[mm] $$(z_0+w_0)(z_0-w_0)=0\,.$$
[/mm]
Daraus kannst Du nun erkennen:
Sind [mm] $z_0,w_0$ [/mm] Lösungen der Gleichung [mm] $z^2=c\,$ [/mm] so sind sie bis auf das Vorzeichen gleich. Daraus folgt schon die Behauptung.
> Ich wollte einfach
> nur für z=x mal plus iy einsetzten. Aber ich hab echt keine
> Ahnung!
Könnte man auch: [mm] $z\,=\,x+i*y$ [/mm] und [mm] $c\,=\,a+i*b$ [/mm] (mit [mm] $a:=\text{Re}(c)\,, b:=\text{Im}(c)$ [/mm] jeweils fest):
[mm] $$z^2=c$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \;\;\; (x+iy)^2=a+ib \;\;\; \gdw \;\;\;(x^2-y^2)+i*(2xy)=a+ib\,.$$
[/mm]
Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil folgte dann [mm] $x^2-y^2=a$ [/mm] und [mm] $2xy=b\,.$
[/mm]
Dann müsstest Du die Lösungspaare [mm] $(x,\,y) \in \IR^2$ [/mm] dieses (reellen) Gleichungssystems (in den Variablen [mm] $x,\,y$) [/mm] berechnen und begründen, dass es maximal zwei solche Lösungspaare gibt.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
also könnte ich schreiben :
(z+w)(z-w)=0
-> z+w= o v z-w=o
-> z=-w v z=w
wäre das die Lösung????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:22 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> also könnte ich schreiben :
> (z+w)(z-w)=0
> -> z+w= o v z-w=o
> -> z=-w v z=w
> wäre das die Lösung????
Ja, denn für je zwei Lösungen z und w der Gleichung [mm] z^2 [/mm] = c gilt: entweder ist z=w ode z=-w, also gibt es höchstens 2 Lösungen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
Danke für die Antwort!
Ich hätte da noch eine Frage : Berechnen sie die Lösung der Gleichung [mm] z^2= [/mm] i in C.
Wahrscheinlich ist das jetzt ne blöde frage weil es ähnlich geht wie die davor aber ich kann es nicht auf diese Aufgabe übertragen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:38 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
ok also
[mm] x^2-y^2+i(2xy) [/mm] = 0+1i
-> [mm] x^2-y^2+2i+xi+yi [/mm] = i
-> [mm] x^2-y^2+xi+yi= [/mm] -i
->x(x+i)-y(y-i)= -i
so und dann häng ich !
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Hallo ulla,
> ok also
> [mm]x^2-y^2+i(2xy)[/mm] = 0+1i
> -> [mm]x^2-y^2+2i+xi+yi[/mm] = i
> -> [mm]x^2-y^2+xi+yi=[/mm] -i
> ->x(x+i)-y(y-i)= -i
> so und dann häng ich !
Das wesentliche hast Du hier schon stehen:
[mm]x^{2}-y^{2}+i\left(2xy\right)=0+1i[/mm]
Zerlege nun diese Gleichung in Real- und Imaginärteil.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
Dann hätte ich [mm] x^2-y^2=o [/mm] und 2xy=1
-> [mm] X^2=y^2 [/mm] -> x=y und y= 1/2 x
wäre das dann die Lösung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dann hätte ich [mm]x^2-y^2=o[/mm]
nicht o, sondern [mm] $0\,.$
[/mm]
> und 2xy=1
> -> [mm]X^2=y^2[/mm] -> x=y und y= 1/2 x
> wäre das dann die Lösung?
Nö, erstmal steht da auch nichtmal eine Lösung (derer gibt es zwei!), zudem sind Deine Folgerungen falsch. Du hast korrekt erkannt:
[mm] $$x^2=y^2 \text{ und }2xy=1\,.$$
[/mm]
Aber:
Aus [mm] $x^2=y^2$ [/mm] folgt nur $|x|=|y|$ bzw. [mm] $x=\pm y\,.$ [/mm]
1. Fall:
[mm] $x=y\,.$ [/mm] Dann folgt aus $2xy=1$ dann [mm] $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,.$
[/mm]
2. Fall:
[mm] $x=-y\,.$ [/mm] Dann folgt aus $2xy=1$ dann [mm] $-2x^2=1\,.$ [/mm] Dieser Fall kann also nicht eintreten (beachte $x [mm] \in \IR$).
[/mm]
Jetzt solltest Du die beiden Lösungen der Gleichung [mm] $z^2=i$ [/mm] angeben können.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
also muss ich beide Fälle betrachten. Der 2 Fall geht nicht weil unter dem Buch eine -2 steht . Und der erste Fall ist dann:
x= 1/Wurzel2 und x= -1/Wurzel2
oder hab ich wtwas falsch verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> also muss ich beide Fälle betrachten. Der 2 Fall geht nicht
> weil unter dem Buch eine -2 steht .
Buch? Bruch 
Naja, man sieht es schon vorher:
[mm] $-2x^2=1$ [/mm] kann für kein $x [mm] \in \IR$ [/mm] erfüllt sein, da [mm] $-2x^2 \le [/mm] 0 < 1$ für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
> Und der erste Fall ist
> dann:
> x= 1/Wurzel2 und x= -1/Wurzel2
> oder hab ich wtwas falsch verstanden?
So ist das. Es gibt also zwei Lösungen für $x$ und daher auch zwei Lösungspaare [mm] $(x,\,y)$ [/mm] (im ersten Fall ist ja [mm] $y\,=\,x$) [/mm] und daher auch zwei komplexe Zahlen, die die Gleichung [mm] $z^2=i$ [/mm] lösen.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ulla,
> ok also
> [mm]x^2-y^2+i(2xy)[/mm] = 0+1i
> -> [mm]x^2-y^2+2i+xi+yi[/mm] = i
> -> [mm]x^2-y^2+xi+yi=[/mm] -i
> ->x(x+i)-y(y-i)= -i
> so und dann häng ich !
so kommst Du auch nicht weiter. Schau' mal hier nochmal rein ab der Stelle mit [mm] $z\,=\,x+iy$ [/mm] und [mm] $c\,=\,a+ib\,:$
[/mm]
> Könnte man auch: $ [mm] z\,=\,x+i\cdot{}y [/mm] $ und $ [mm] c\,=\,a+i\cdot{}b [/mm] $ (mit $
> [mm] a:=\text{Re}(c)\,, b:=\text{Im}(c) [/mm] $ jeweils fest):
> $ [mm] z^2=c [/mm] $
> $ [mm] \gdw \;\;\; (x+iy)^2=a+ib \;\;\; \gdw \;\;\;(x^2-y^2)+i\cdot{}(2xy)=a+ib\,. [/mm] $
> Durch Vergleich von Real- und Imaginärteil folgte dann $ [mm] x^2-y^2=a [/mm] $
> und $ [mm] 2xy=b\,. [/mm] $
(Übrigens zur Erinnerung: Mit $z=x+iy$ und $t=r+is$ gilt $z=t$ genau dann, wenn $x=r$ und $y=s$ ist.)
Hier wäre [mm] $a\,=\,0$ [/mm] und [mm] $b\,=\,1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
ja genau und dann bekomm ich
[mm] x^2-y^2=0 [/mm] -> x=y
und ich bekomm
2xy=1 -> y=1/2 x
stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ja genau und dann bekomm ich
> [mm]x^2-y^2=0[/mm] -> x=y
> und ich bekomm
> 2xy=1 -> y=1/2 x
> stimmt das so?
s.o..
Ich gebe Dir aber jetzt mal die Lösungen an:
[mm] $$z_{1,2}=\pm \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}*i\right)$$
[/mm]
sind die Lösungen der Gleichung [mm] $z^2=i\,.$ [/mm] Genaueres entnimmst Du bitte meiner Antwort oben.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:11 Fr 21.11.2008 | | Autor: | ulla |
Danke Marcel ich denke ich hab es jetzt verstanden , du hast mir sehr gut weitergeholfen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke Marcel ich denke ich hab es jetzt verstanden , du
> hast mir sehr gut weitergeholfen!
gern geschehen. Aber schreibe für sowas beim nächsten Mal besser eine Mitteilung, es ist ja keine Frage bzw. Aufgabe mehr
Gruß,
Marcel
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