komplexe Zahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
| Aufgabe | Berechnen Sie folgende Ausdrücke:
[mm] [2(\cos(42^{\circ})+i*\sin(42^{\circ}))]^{5} [/mm] |
Hi
weiß hier auch nicht weiter....
benutze ich hier die Formel
[mm] e^{i\varphi}=\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi) [/mm]
falls ja, weiß ich dennoch nicht wie ich sie benutzen soll weil ich nicht weiter komm....
das kann man halt noch so schreiben...
[mm] (\cos(42^{\circ})+i*\sin(42^{\circ}))=e^{i42} [/mm] aber davon hab ich ja nichts oder? =)
Grüße
Roffel
|
|
| |
|
Hallo Roffel!
Auch das hier ist ein Fall für die  Moivre-Formel, so dass Du *ruck-zuck* fertig bist.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Hi Roadrunner
>
>
> Auch das hier ist ein Fall für die Moivre-Formel, so
> dass Du *ruck-zuck* fertig bist.
also ich mag die Formel bisher noch überhaupt nicht, weil ich damit irgendwie noch nichts anfangen kann obwohl ich mir da mein skript schon durchgelesen habe... aber ich das leider nicht auf meine Aufgaben anwenden bisher....also ist leider nix mit"ruck-zuck" :(
[mm] [2(\cos(42^{\circ})+i\cdot{}\sin(42^{\circ}))]^{5} [/mm] hier muss ich das ja doch irgendwie rückwärts anwenden... aber ich hab absolut keine Anhung wie ich hier vorgeh und wie ich anfangen muss.. sry
Grüße
Roffel
|
|
|
| |
|
Hallo Roffel!
Gemäß der Moivre-Formel gilt doch:
[mm] $$z^n [/mm] \ = \ [mm] \left\{ \ |z|*\left[ \ \cos\left(\varphi\right)+i*\sin\left(\varphi\right) \ \right] \ \right\}^n [/mm] \ = \ [mm] |z|^n*\left[ \ \cos\left(\varphi\right)+i*\sin\left(\varphi\right) \ \right]^n [/mm] \ = \ [mm] |z|^n*\left[ \ \cos\left(\red{n}*\varphi\right)+i*\sin\left(\red{n}*\varphi\right) \ \right]$$
[/mm]
Man muss hier also quasi nur Einsetzen ...
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
Hallo
> [mm]z^n \ = \ \left\{ \ |z|*\left[ \ \cos\left(\varphi\right)+i*\sin\left(\varphi\right) \ \right] \ \right\}^n \ = \ |z|^n*\left[ \ \cos\left(\varphi\right)+i*\sin\left(\varphi\right) \ \right]^n \ = \ |z|^n*\left[ \ \cos\left(\red{n}*\varphi\right)+i*\sin\left(\red{n}*\varphi\right) \ \right][/mm]
>
> Man muss hier also quasi nur Einsetzen ...
hm "nur" einsetzen.. k^^
[mm] |2|^{5} [/mm] *[ cos(42* 5) + i * sin(42* 5)]
= 32*[cos(210)+i*sin(210)] falsch? und muss ich den cos und sin von 210 auswendig wissen? :)
Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo Roffel,
> Hallo
>
> > [mm]z^n \ = \ \left\{ \ |z|*\left[ \ \cos\left(\varphi\right)+i*\sin\left(\varphi\right) \ \right] \ \right\}^n \ = \ |z|^n*\left[ \ \cos\left(\varphi\right)+i*\sin\left(\varphi\right) \ \right]^n \ = \ |z|^n*\left[ \ \cos\left(\red{n}*\varphi\right)+i*\sin\left(\red{n}*\varphi\right) \ \right][/mm]
>
> >
> > Man muss hier also quasi nur Einsetzen ...
>
> hm "nur" einsetzen.. k^^
>
> [mm]|2|^{5}[/mm] *[ cos(42* 5) + i * sin(42* 5)]
>
> = 32*[cos(210)+i*sin(210)] falsch?
Nein! Fehlen nur die "Gradzeichen" [mm]210^\circ[/mm] ...
> und muss ich den cos und
> sin von 210 auswendig wissen? :)
Nee, ich denke nicht.
Man kann sich das aber bestimmt herleiten aus den Beziehungen zwischen Sinus und Cosinus, den Additionstheoremen und etwa dem bekannten Wert für [mm]\sin(\pi/6), was [/mm][mm] \sin(30^\circ)$ [/mm] entspricht ...
Aber wie genau, da verspüre ich gerade keinen übergroßen Drang, mir das zu überlegen 
TR ...
>
> Grüße
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Roffel |
danke schachuzipus
> >
> > [mm]|2|^{5}[/mm] *[ cos(42* 5) + i * sin(42* 5)]
> >
> > = 32*[cos(210)+i*sin(210)] falsch?
>
> Nein! Fehlen nur die "Gradzeichen" [mm]210^\circ[/mm] ...
>
> > und muss ich den cos und
> > sin von 210 auswendig wissen? :)
>
> Nee, ich denke nicht.
ja weil bei der Aufgabe steht in Klamme:
"Hinweis: Beachten sie die geometrische Deutung der Multiplikation in C. Sie benütige weder einen TR, noch den Wer von sin(42Grad).
hm ist mir da noch irgendwas nicht bewusst und wie hilft mir dieser Hinweis die Lösung rauszubekommen??
>
> Aber wie genau, da verspüre ich gerade keinen übergroßen
> Drang, mir das zu überlegen
haha k :P
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Fr 17.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Roffel,
ich gehe ziemlich sicher davon aus, dass der Aufgabensteller von Dir erwartet, dass Du [mm] \sin{(30^{\circ})} [/mm] und [mm] \cos{(30^{\circ})} [/mm] weißt und dir also leicht die entsprechenden Werte für [mm] 210^{\circ} [/mm] herleiten kannst!
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Fr 17.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
das ist wohl ein diskreter Hinweis darauf, dass man ein paar Werte des Sinus und Kosinus auswendig kennen sollte, und dann kann man mit den Additionstheoremen ziemlich leicht ausrechnen, was dabei herauskommt.
210 Grad ist ja wohl größer als 180 Grad, also nimm einfach
[mm] \sin (\pi + x) = - \sin x [/mm] und
[mm] \cos(\pi + x) = - \cos x [/mm]
Tja, und den Sinus und den Cosinus von 30 Grad sollte man wissen.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Roffel |
ich danke euch...
und ich probiere es mir zu merken :)
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:56 Sa 18.06.2011 | | Autor: | abakus |
> ich danke euch...
>
> und ich probiere es mir zu merken :)
Merke dir einfach Folgendes:
Für die "besonderen" Winkel 0°, 30°, 45°, 60° und 90°
sind die Sinuswerte (in dieser Reihenfolge)
[mm] \bruch{1}{2}\wurzel{0}, \bruch{1}{2}\wurzel{1}, \bruch{1}{2}\wurzel{2}, \bruch{1}{2}\wurzel{3}, \bruch{1}{2}\wurzel{4}
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 Fr 17.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Merkhilfe: 60° und 30° hat man im halben gleichseitigen Dreieck,Seite =1 wenn man dessen Höhe kennt [mm] h=0.5*\wurzel3 [/mm] hat man sin und cos von 30° und 60° direkt,
45° aus dem gleichschenkligen rechtw. Dreieck Hyp=1
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 Sa 18.06.2011 | | Autor: | Roffel |
hallo nochmal kurz :)
wenn ich dann einsetze, dann steht bei mir das:
[mm] 32*(-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i*-0.5)
[/mm]
[mm] =-16*\wurzel{3}-16i
[/mm]
kann bzw. muss ich das jetzt noch weiter berechnen oder kann man das als ergebnis so stehen lassen?? (falls es überhaupt stimmt....)
Grüße
Roffel
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> hallo nochmal kurz :)
>
> wenn ich dann einsetze, dann steht bei mir das:
> [mm]32*(-\bruch{\wurzel{3}}{2}+i*-0.5)[/mm]
> [mm]=-16*\wurzel{3}-16i[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> kann bzw. muss ich das jetzt noch weiter berechnen oder
> kann man das als ergebnis so stehen lassen?? (falls es
> überhaupt stimmt....)
Ja, das Ergebnis stimmt, und du kannst es so stehen lassen, es ist ja "schön" in Normalform $x+iy$ ...
Alles bestens!
>
> Grüße
> Roffel
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
