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Hallo Zusammen,
Folgende Aufgabe bereitet mir Probleme:
Sei $G$ ein komplexes Polynom der Ordnung $2n$ über [mm] $\mathbb{C}$:
[/mm]
[mm] $G\left(z\right) [/mm] = [mm] \sum_{j=0}^{2n}{u_jz^j}$
[/mm]
Zeige, daß die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) $G$ erfüllt [mm] $G\left(z\right) [/mm] = [mm] z^{2n}\overline{G\left(\bar{z}^{-1}\right)}$.
[/mm]
(ii) Die Koeffizienten von $G$ erfüllen: [mm] $\bar{u}_{2n-j} [/mm] = [mm] u_j$
[/mm]
(iii) [mm] $g\left(\theta\right) [/mm] := [mm] e^{-in\theta}G\left(e^{i\theta}\right)$ [/mm] ist ein reelles trigonometrisches Polynom [mm] $g\left(\theta\right) [/mm] = [mm] {\lambda}_0 [/mm] + [mm] \sum_{j=1}^{n}{\left({\lambda}_j\sin\left(j\theta\right)+{\mu}_j\cos\left(j\theta\right)\right)}$ [/mm] mit reellen Koeffizienten [mm] ${\lambda}_j,{\mu}_j$.
[/mm]
Für die Lösung habe ich mir folgenden Kettenschluß überlegt:
[mm] $\left(iii\right) \Leftarrow \color{red}\left(i\right) \gdw \left(ii\right)$
[/mm]
Den roten Teil habe ich geschafft; beim Rest komme ich nicht weiter. Der Kettenschluß ist so aber noch nicht vollständig. Ich bin mir nicht sicher, ob ich dann [mm] $\left(iii\right) \Rightarrow \left(i\right)$ [/mm] oder [mm] $\left(iii\right) \Rightarrow \left(ii\right)$ [/mm] zeigen sollte. Beides würde den Kettenschluß vollkommen machen, aber was wäre denn einfacher? Und Gedanken, wie ich das zeigen könnte, habe ich noch nicht.
Ok, jetzt zu meinem Problem mit [mm] $\left(i\right) \Rightarrow \left(iii\right)$:
[/mm]
Angenommen $G$ erfüllt [mm] $G\left(z\right) [/mm] = [mm] z^{2n}\overline{G\left(\bar{z}^{-1}\right)}$. [/mm] Dann gilt:
[mm]\begin{array}{l}\displaystyle g\left(\theta\right) = e^{-in\theta}\sum_{j=0}^{2n}{u_je^{ij\theta}} = e^{-in\theta}e^{2in\theta}\sum_{j=0}^{2n}{u_j\left(\overline{e^{i\theta}}^{-1}\right)^j} = e^{in\theta}\sum_{j=0}^{2n}{u_j\frac{1}{\left(\cos\theta-i\sin\theta\right)^j}} = e^{in\theta}\sum_{j=0}^{2n}{u_j\frac{\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)^j}{\left(\underbrace{\left(\cos\theta-i\sin\theta\right)\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)}_{=1}\right)^j}} \\ \displaystyle = e^{in\theta}\sum_{j=0}^{2n}{u_je^{ij\theta}} = \sum_{j=0}^{2n}{u_je^{i\left(n\theta+j\theta\right)}} = u_0e^{in\theta}+\left(\sum_{j=1}^{n}{u_je^{i\left(n\theta+j\theta\right)}}\right)+\sum_{j=n+1}^{2n}{u_je^{i\left(n\theta+j\theta\right)}} = u_0e^{in\theta}+\left(\sum_{j=1}^{n}{u_je^{i\left(n\theta+j\theta\right)}}\right)+\sum_{j=1}^{n}{u_{j+n}e^{i\left(n\theta+j\theta+n\theta\right)}} \\ \displaystyle = u_0e^{in\theta}+\sum_{j=1}^{n}{\left(u_je^{in\theta}e^{j\theta}+u_{j+n}e^{in\theta}e^{j\theta}e^{n\theta}\right)} = e^{in\theta}\left(u_0 + \sum_{j=1}^{n}{\left(u_je^{j\theta}+u_{j+n}e^{j\theta}e^{n\theta}\right)}\right)\end{array}[/mm]
Ab hier weiß ich nicht mehr weiter. Wie kann ich diese Summe auf die gewünschte Form bringen? Oder war ich die ganze Zeit auf dem Holzweg? Ich finde das obige Ergebnis ähnelt schon ein Bißchen der gewünschten Form.
Danke für die Hilfe!
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:26 Fr 21.10.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Karl!
Betrachten wir die Summanden [mm] $e^{-in\theta} u_j e^{ij\theta}$ [/mm] und [mm] $e^{-in\theta} u_{2n-j} e^{i(2n-j)\theta}=e^{i n \theta} \overline{u_{j}} e^{-ij\theta}=\overline{e^{-in\theta} u_j e^{ij\theta}}$. [/mm] Ihre Summe beträgt [mm] $2\Re (e^{-in\theta} u_j e^{ij\theta})$. [/mm] Setzen wir nun [mm] $u_j=r_j e^{i \theta_j}$, [/mm] dann ist [mm] $e^{-in\theta} u_j e^{ij\theta}=r_j e^{i(-n\theta+\theta_j+j\theta)}$, [/mm] also [mm] $2\Re (e^{-in\theta} u_j e^{ij\theta})=2\cos(-n\theta+\theta_j+j\theta)$. [/mm] Anwenden des Additionstheoremes für den Kosinus ergibt nun Gleichheit mit [mm] $2(\cos(-n\theta+\theta_j)\cos(j\theta)+\sin(n\theta+\theta_j)\sin(j\theta))$. [/mm] Nun setzen wir [mm] $\mu_j [/mm] = [mm] 2\cos(-n\theta+\theta_j)$ [/mm] und [mm] $\lambda_j=2\sin(n\theta+\theta_j)$. [/mm] Damit solltest du nun [mm] $g(\theta)=e^{-i n \theta} G(e^{i\theta}$ [/mm] als das gewünschte trigonometrische Polynom ausdrücken können.
Liebe Grüße,
Hanno
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Hallo Hanno, Hallo Leopold!
Danke erstmal für eure Hilfe. Leider komme ich erst jetzt dazu mich wieder mit dieser Aufgabe zu beschäftigen.
Ich wollte erstmal nur wissen, was dieses [mm] $\Re\text{--Zeichen}$ [/mm] für eine Bedeutung hat? Ich habe so eines schon mal in alten Analysis-Büchern gesehen, konnte aber nichts damit anfangen. Es scheint aber eine Abkürzung für etwas zu sein; Vielleicht für die Summendarstellung?
Viele Grüße
Karl
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[mm]z + \bar{z} = 2 \, \Re{(z)} = 2 \operatorname{Re}{(z)}[/mm]
[mm]z - \bar{z} = 2 \operatorname{i} \, \Im{(z)} = 2 \operatorname{i} \, \operatorname{Im}{(z)}[/mm]
Hier handelt es sich schlicht um Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl [mm]z[/mm].
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Ich verstehe schon nicht, wo bei der ersten Umformung das [mm]\operatorname{e}^{2 \operatorname{i} n \vartheta}[/mm] herkommt. Könnte es sein, daß du da die Variable [mm]\vartheta[/mm] mit der Konstanten [mm]\pi[/mm] identifiziert hast?
Ich würde so umformen:
[mm]g(\vartheta) = \operatorname{e}^{- n \operatorname{i} \vartheta} G \left( \operatorname{e}^{\operatorname{i} \vartheta} \right) = \operatorname{e}^{- n \operatorname{i} \vartheta} \sum_{k=0}^{2n}~u_k \operatorname{e}^{k \operatorname{i} \vartheta}[/mm]
[mm]= \operatorname{e}^{-n \operatorname{i} \vartheta} \left( u_n \operatorname{e}^{n \operatorname{i} \vartheta} + \sum_{k=0}^{n-1}~u_k \operatorname{e}^{k \operatorname{i} \theta} + \sum_{k=n+1}^{2n}~u_k \operatorname{e}^{k \operatorname{i} \theta} \right)[/mm]
[mm]= \operatorname{e}^{-n \operatorname{i} \vartheta} \left( u_n \operatorname{e}^{n \operatorname{i} \vartheta} + \sum_{k=0}^{n-1}~u_k \operatorname{e}^{k \operatorname{i} \theta} + \sum_{k=0}^{n-1}~u_{2n-k} \operatorname{e}^{(2n-k) \operatorname{i} \theta} \right)[/mm]
[mm]= u_n + \sum_{k=0}^{n-1}~\left( u_k \operatorname{e}^{-(n-k) \operatorname{i} \vartheta} + \overline{u_k} \operatorname{e}^{(n-k) \operatorname{i} \vartheta} \right)[/mm]
[mm]= u_n + \sum_{k=1}^n~\left( u_{n-k} \operatorname{e ^{-k \operatorname{i} \vartheta}} + \overline{u_{n-k}} \operatorname{e}^{k \operatorname{i} \vartheta} \right)[/mm]
[mm]= u_n + 2 \sum_{k=1}^n~\Re{\left( u_{n-k} \operatorname{e}^{-k \operatorname{i} \vartheta} \right)}[/mm]
Nach Bedingung (ii) ist [mm]\lambda_0 = u_n[/mm] reell. Setzt man ferner
[mm]u_{n-k} = \frac{1}{2} \mu_k + \frac{1}{2} \operatorname{i} \lambda_k[/mm] mit reellen [mm]\mu_k, \lambda_k[/mm]
so gilt:
[mm]u_{n-k} \operatorname{e}^{-k \operatorname{i} \vartheta} = \left( \frac{1}{2} \mu_k + \frac{1}{2} \operatorname{i} \lambda_k \right) \left( \cos{(k \vartheta)} - \operatorname{i} \, \sin{(k \vartheta)} \right) = \frac{1}{2} \lambda_k \sin{(k \vartheta)} + \frac{1}{2} \mu_k \cos{(k \vartheta)} + \operatorname{i} \left( \ldots \right)[/mm]
Daraus folgt:
[mm]g(\vartheta) = \lambda_0 + \sum_{k=1}^n~\left( \lambda_k \sin{(k \vartheta)} + \mu_k \cos{(k \vartheta)} \right)[/mm]
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Hallo Leopold,
Ich habe jetzt eine ganze Weile über deinen Beweis nachgedacht, aber zwei Dinge verstehe ich noch nicht:
> [mm]= u_n + \sum_{k=1}^n~\left( u_{n-k} \operatorname{e ^{-k \operatorname{i} \vartheta}} + \overline{u_{n-k}} \operatorname{e}^{k \operatorname{i} \vartheta} \right)[/mm]
>
> [mm]= u_n + 2 \sum_{k=1}^n~\Re{\left( u_{n-k} \operatorname{e}^{-k \operatorname{i} \vartheta} \right)}[/mm]
Wieso ist das eine Äquivalenzumformung? '=' ist ja solch eine Umformung. Aber wenn ich nur den reellen Teil der Summanden dieser Summe betrachte, verliere ich doch Informationen. Angenommen ich wollte jetzt die Gleichungskette von diesem letzten Schritt zurückverfolgen. Könnte ich das jetzt noch eindeutig tun?
> Nach Bedingung (ii) ist [mm]\lambda_0 = u_n[/mm] reell.
Verstehe ich das richtig, daß Du Bedingung (ii) so deutest, daß jede komplexe Zahl, die gleich ihrer konjugiert-komplexen Zahl ist, reell ist? Wenn ja, so kann ich diesen Satz nachvollziehen. Und dann wäre das Obige wohl doch eine Äquivalenzumformung. Aber hier ...
> [mm]u_{n-k} = \frac{1}{2} \mu_k + \frac{1}{2} \operatorname{i} \lambda_k[/mm]
> mit reellen [mm]\mu_k, \lambda_k[/mm]
... setzt Du für jedes [mm] $u_{n-k}$ [/mm] eine komplexe Zahl ein.
> so gilt:
>
> [mm]u_{n-k} \operatorname{e}^{-k \operatorname{i} \vartheta} = \left( \frac{1}{2} \mu_k + \frac{1}{2} \operatorname{i} \lambda_k \right) \left( \cos{(k \vartheta)} - \operatorname{i} \, \sin{(k \vartheta)} \right) = \frac{1}{2} \lambda_k \sin{(k \vartheta)} + \frac{1}{2} \mu_k \cos{(k \vartheta)} + \operatorname{i} \left( \ldots \right)[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
> [mm]g(\vartheta) = \lambda_0 + \sum_{k=1}^n~\left( \lambda_k \sin{(k \vartheta)} + \mu_k \cos{(k \vartheta)} \right)[/mm]
Hast Du bei dieser Folgerung [mm] $\dotsb [/mm] + [mm] \operatorname{i} \left( \ldots \right)$ [/mm] einfach "fallen lassen"? Darf man das hier?
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Di 25.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Karl!
> Ich habe jetzt eine ganze Weile über deinen Beweis
> nachgedacht, aber zwei Dinge verstehe ich noch nicht:
> > [mm]= u_n + \sum_{k=1}^n~\left( u_{n-k} \operatorname{e ^{-k \operatorname{i} \vartheta}} + \overline{u_{n-k}} \operatorname{e}^{k \operatorname{i} \vartheta} \right)[/mm]
>
> >
> > [mm]= u_n + 2 \sum_{k=1}^n~\Re{\left( u_{n-k} \operatorname{e}^{-k \operatorname{i} \vartheta} \right)}[/mm]
>
>
> Wieso ist das eine Äquivalenzumformung? '=' ist ja solch
> eine Umformung. Aber wenn ich nur den reellen Teil der
> Summanden dieser Summe betrachte, verliere ich doch
> Informationen. Angenommen ich wollte jetzt die
> Gleichungskette von diesem letzten Schritt zurückverfolgen.
> Könnte ich das jetzt noch eindeutig tun?
Ja, da die Gleichheit
$z + [mm] \bar{z} [/mm] = 2 Re(z)$
immer gilt.
> > Nach Bedingung (ii) ist [mm]\lambda_0 = u_n[/mm] reell.
>
>
> Verstehe ich das richtig, daß Du Bedingung (ii) so deutest,
> daß jede komplexe Zahl, die gleich ihrer
> konjugiert-komplexen Zahl ist, reell ist?
Genau das! Es gilt ja im Falle [mm] $z=\bar{z}$
[/mm]
[mm] $\IR \ni [/mm] Re(z) = [mm] \frac{1}{2}(z [/mm] + [mm] \bar{z}) [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \cdot [/mm] 2z = z$.
> Wenn ja, so kann
> ich diesen Satz nachvollziehen. Und dann wäre das Obige
> wohl doch eine Äquivalenzumformung. Aber hier ...
>
>
> > [mm]u_{n-k} = \frac{1}{2} \mu_k + \frac{1}{2} \operatorname{i} \lambda_k[/mm]
> > mit reellen [mm]\mu_k, \lambda_k[/mm]
>
>
> ... setzt Du für jedes [mm]u_{n-k}[/mm] eine komplexe Zahl ein.
Das ist auch richtig so, weil man für die [mm] $u_{n-k}$ [/mm] für $k [mm] \ne [/mm] 0$ ja aus (ii) nicht schließen kann, dass diese reell sind. Nur im Falle $k=0$ (also für [mm] $u_n$) [/mm] steht dort, dass der Koeffizient gleich seinem konjugiert Komplexen und mithin reell ist.
> > so gilt:
> >
> > [mm]u_{n-k} \operatorname{e}^{-k \operatorname{i} \vartheta} = \left( \frac{1}{2} \mu_k + \frac{1}{2} \operatorname{i} \lambda_k \right) \left( \cos{(k \vartheta)} - \operatorname{i} \, \sin{(k \vartheta)} \right) = \frac{1}{2} \lambda_k \sin{(k \vartheta)} + \frac{1}{2} \mu_k \cos{(k \vartheta)} + \operatorname{i} \left( \ldots \right)[/mm]
>
> >
> > Daraus folgt:
> >
> > [mm]g(\vartheta) = \lambda_0 + \sum_{k=1}^n~\left( \lambda_k \sin{(k \vartheta)} + \mu_k \cos{(k \vartheta)} \right)[/mm]
>
>
> Hast Du bei dieser Folgerung [mm]\dotsb + \operatorname{i} \left( \ldots \right)[/mm]
> einfach "fallen lassen"? Darf man das hier?
Ja, sicher, da wir ja
[mm] $g(\theta) [/mm] = [mm] u_n [/mm] + 2 [mm] \sum\limits_{k=1}^n [/mm] Re [mm] \left( u_{n-k} e^{-ki\theta}\right)$
[/mm]
hatten, also von [mm] $u_{n-k} e^{-ki \theta}$ [/mm] nur den Realteil betrachten (und somit den Imaginärteil von vorneherein gar nicht erst auszurechnen brauchen).
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Di 25.10.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Stefan!
Danke für deine Hilfe!
Viele Grüße
Karl
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