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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
in meiner Mitschrift steht:
Komplexe Zahlen als lineare Abbildungen
" [mm] T_{z}: \IC \to \IC [/mm] , w [mm] \mapsto [/mm] z*w ...
..."
und dann " insbesondere gilt [mm] T_{z}+T_{w}=T_{z+w} [/mm] und
[mm] T_{z}*T_{w}=T_{z*w}".
[/mm]
Die erste Gleichung ist mir klar, aber was wird bei der zweiten Gleichung mit dem Operationszeichen * gemeint? Komposition von Abbildungen?
Ich denke, dass punktweise Multiplikation in dem Fall keinen Sinn ergibt.
Warum hat Professor das * Zeichen und nicht [mm] \circ [/mm] verwendet?
Kann sein , dass das eine Konvention bei linearen Abbildungen ist?
Gruss
Igor
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:14 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Uuups... wollte eigentlich nur eine Frage stellen .
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Hallo Igor1,
> Komplexe Zahlen als lineare Abbildungen
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> " [mm]T_{z}: \IC \to \IC[/mm] , w [mm]\mapsto[/mm] z*w ...
> ..."
> und dann " insbesondere gilt [mm]T_{z}+T_{w}=T_{z+w}[/mm] und
> [mm]T_{z}\*T_{w}=T_{z*w}".[/mm]
Mit dieser Verknüpfung kann nur die Hintereinanderausführung bzw. Komposition gemeint sein, da
[mm] T_z\*T_w(x)\blue{=}T_z (T_w(x))=T_z(w\*x)=z\*w\*x=(z\*w)\*x=T_{z\*w}(x)
[/mm]
für [mm] w,z\in\IC [/mm] und für alle [mm] x\in\IC [/mm] gilt.
>
> Die erste Gleichung ist mir klar, aber was wird bei der
> zweiten Gleichung mit dem Operationszeichen * gemeint?
> Komposition von Abbildungen?
> Ich denke, dass punktweise Multiplikation in dem Fall
> keinen Sinn ergibt.
> Warum hat Professor das * Zeichen und nicht [mm]\circ[/mm]
> verwendet?
> Kann sein , dass das eine Konvention bei linearen
> Abbildungen ist?
Nein, das habe ich auch noch nirgends gesehen - vielleicht mag dein Professor einfach diese Schreibweise, oder er hat sich verschrieben.
>
>
> Gruss
> Igor
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:49 Fr 28.10.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
im Bezug auf die Kettenregel (mit komplexwertigen Funktionen) steht in meiner Mitschrift folgendes:
(Bemerkung von mir: man kann über Kettenregel für Vektorfelder
[mm] \IR^{2} \to \IR^{2} [/mm] die Kettenregel für komplexwertige Funktionen herleiten.)
"... d(f [mm] \circ g)(z_{0})=df(g(z_{0}))*dg(z_{0})=
[/mm]
[mm] T_{f'(g(z_{0}))}*T_{g'(z_{0})}=T_{f'(g(z_{0}))*g'(z_{0})} [/mm] "
(Bemerkung von mir: es gilt [mm] df(g(z_{0}))=T_{f'(g(z_{0}))}, dg(z_{0})= T_{g'(z_{0})})
[/mm]
Meine Frage dazu ist:
im zweiten Teil der obigen Gleichungskette werden zwei
Jacobimatrizen miteinander multipliziert, jedoch im dritten Teil der Gleichungskette wird Komposition von Funktionen gebildet (in der Annahme, dass das mit der Komposition stimmt).
Also mir ist nicht klar, warum die zweite Gleichung dort stimmt.
Gruss
Igor
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 So 30.10.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 28.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Die erste Gleichung ist mir klar, aber was wird bei der
> > zweiten Gleichung mit dem Operationszeichen * gemeint?
> > Komposition von Abbildungen?
> > Ich denke, dass punktweise Multiplikation in dem Fall
> > keinen Sinn ergibt.
> > Warum hat Professor das * Zeichen und nicht [mm]\circ[/mm]
> > verwendet?
> > Kann sein , dass das eine Konvention bei linearen
> > Abbildungen ist?
>
> Nein, das habe ich auch noch nirgends gesehen - vielleicht
> mag dein Professor einfach diese Schreibweise, oder er hat
> sich verschrieben.
Die Multiplikation kann durchaus Absicht sein.
Schliesslich ist die Menge dieser Funktionen [mm] $T_z [/mm] : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] eine Teilmenge(*) des [mm] $\IC$-Endomorphismenrings [/mm] des [mm] $\IC$-Vektorraums $\IC$.
[/mm]
Allgemeiner: ist $K$ ein Koerper und $V$ ein $K$-Vektorraum, so ist [mm] $End_K(V) [/mm] := [mm] \{ \varphi : V \to V \mid \varphi \text{ } K\text{-Endomorhpismus von } V \}$ [/mm] eine $K$-Algebra mit punktweiser Addition und Verknuepfung als Multiplikation. Und Multiplikation schreibt man auch gerne mit [mm] $\cdot$ [/mm] anstelle [mm] $\circ$ [/mm] 
Ist $V = [mm] K^n$, [/mm] so kann man [mm] $End_K(V)$ [/mm] mit den $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen ueber $K$ identifizieren. Und dort verwendet man ja ebenfalls [mm] $\cdot$ [/mm] und nicht [mm] $\circ$ [/mm] fuer die multiplikative Vernkuepfung.
Ist $K = [mm] \IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] und $V = [mm] K^n$, [/mm] so kann man die Isomorphismus [mm] $\End_K(V) \to K^{n \times n}$ [/mm] uebrigens auch auf die Abbildung auffassen, die einem Endomorphismus [mm] $\varphi [/mm] : [mm] K^n \to K^n$ [/mm] die $n [mm] \times [/mm] n$-Jacobimatrix in einem fest gewaehlten Punkt in [mm] $K^n$ [/mm] zuordnet. Dass diese Abbildung ein Homomorphismus ist folgt aus der $K$-Linearitaet der Ableitung sowie der Kettenregel.
(*) In diesem Fall sind es bereits alle. Falls man die [mm] $T_z$ [/mm] jedoch als [mm] $\IR$-Endomorphismen [/mm] vom zweidimensionalen [mm] $\IR$-Vektorraum $\IC$ [/mm] auffasst, sind es nicht alle.
LG Felix
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