komplexe Zahlen bei Part.bruch < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:33 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Jimpanse |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die folgenden Integrale! |
Hallo Leute,
ich habe eine Frage zur Partialbruchzerlegung. Das Ganze ist im Prinzip ziemlich simpel. Man fängt damit an, dass man nach den Nullstellen schaut und läuft dann sein Schema durch ... soweit auch noch kein Problem.
Nun bin ich auch eine Aufgabe gestoßen, die wie folgt lautet:
[mm] \integral_{-2}^{2}{\bruch{1}{x^{2}+4x+5} dx}
[/mm]
soweit so gut ...
um die Nullstellen zu bestimmen, habe ich die PQ Formel gewählt, macht meiner Meinung nach mehr Sinn als das Hornersche Schema, weil der Aufwand geringer ist. Beim Anwenden der PQ Formel bekomme ich als Nullstellen: 1+i und 1-i heraus. Macht auch Sinn.
Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie ich damit weitermache bzw. ob man damit überhaupt weitermachen kann?!
Über Input und Lösungshinweise wäre ich sehr froh!
Vielen Dank und Liebe Grüße
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Hallo Jimpanse,
> Bestimmen Sie die folgenden Integrale!
> Hallo Leute,
>
> ich habe eine Frage zur Partialbruchzerlegung. Das Ganze
> ist im Prinzip ziemlich simpel. Man fängt damit an, dass
> man nach den Nullstellen schaut und läuft dann sein Schema
> durch ... soweit auch noch kein Problem.
> Nun bin ich auch eine Aufgabe gestoßen, die wie folgt
> lautet:
>
> [mm]\integral_{-2}^{2}{\bruch{1}{x^{2}+4x+5} dx}[/mm]
>
> soweit so gut ...
>
> um die Nullstellen zu bestimmen, habe ich die PQ Formel
> gewählt, macht meiner Meinung nach mehr Sinn als das
> Hornersche Schema, weil der Aufwand geringer ist. Beim
> Anwenden der PQ Formel bekomme ich als Nullstellen: 1+i und
> 1-i heraus. Macht auch Sinn.
>
> Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie ich damit
> weitermache bzw. ob man damit überhaupt weitermachen
> kann?!
Natürlich kannst Du mit komplexen Partialbrüchen weiterrechnen.
Dann ist
[mm]{\bruch{1}{x^{2}+4x+5} =\bruch{A}{x-x_{0}}+\bruch{B}{x-x_{1}}[/mm]
,wobei [mm]x_{0}, \ x_{1}[/mm] die Nullstellen von [mm]x^{2}+4x+5[/mm] sind.
Besser Du löst das Integral mit einer Substitution.
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> Über Input und Lösungshinweise wäre ich sehr froh!
>
> Vielen Dank und Liebe Grüße
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Jimpanse |
Danke für die schnelle Antwort!
wenn ich eine Part.bruchzerlegung durchführe, dann wäre der nächste Schritt nach der Nullstellenberechnung derjenige die Nullstellen in der von dir beschriebenen Form mit der Ausgangsgleichung gleichzusetzen. Dann multipliziere ich mit dem Nenner der Ausgangsgleichung, so dass sich die Nenner der Nullenstellenberechnung wegfallen bzw. sich rauskürzen.
Ich komme aber, wenn ich den Ausgangsnenner vereinfache nicht auf eine Gleichung, die sich kürzen lässt.
Deinen Hinweis mit der Substitution habe ich zur Kenntnis genommen und versucht ihn umzusetzen, aber Ziel der Substitution ist es doch einen Term zu finden, der sich auch kürzen lässt. Den sehe ich leider nicht.
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Hallo Jimpanse,
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> wenn ich eine Part.bruchzerlegung durchführe, dann wäre
> der nächste Schritt nach der Nullstellenberechnung
> derjenige die Nullstellen in der von dir beschriebenen Form
> mit der Ausgangsgleichung gleichzusetzen. Dann
> multipliziere ich mit dem Nenner der Ausgangsgleichung, so
> dass sich die Nenner der Nullenstellenberechnung wegfallen
> bzw. sich rauskürzen.
> Ich komme aber, wenn ich den Ausgangsnenner vereinfache
> nicht auf eine Gleichung, die sich kürzen lässt.
>
Es ist doch
[mm]x^{2}+4*x+5=\left(x-x_{0}\right)*\left(x-x_{1}\right)[/mm]
mit den Nullstellen
[mm]x_{0}=-2+i, \ x_{1}=-2-i[/mm]
>
>
> Deinen Hinweis mit der Substitution habe ich zur Kenntnis
> genommen und versucht ihn umzusetzen, aber Ziel der
> Substitution ist es doch einen Term zu finden, der sich
> auch kürzen lässt. Den sehe ich leider nicht.
>
>
Schreibe
[mm]x^{2}+4*x+5=\left(x+b\right)^2+c[/mm]
Wende dazu die quadratische Ergänzung an.
Dann fällt Die dazu bestimmt eine passende Substitution ein.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:39 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Jimpanse |
ich habe gerade meinen fehler gesehen: Ich habe als Nullstellen 1-i und 1+i angenommen anstatt 2-i, 2+i. Dann kanns ja auch nicht aufgehen.
Wer gucken kann ist klar im Vorteil.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Jimpanse |
so, nach ner kurzen pause hab ich mal zuende gerechnet.
ich habs mit der Partialbruchzerlegung gemacht und bin zu folgendem ergebnis gekommen:
nach einsetzen der integrationsgrenzen
[mm] -\bruch{1}{2i} [/mm] ln [mm] \bruch{-i}{4+i} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2i} [/mm] ln [mm] \bruch{-4-i}{i}
[/mm]
ein kurzes feedback zur möglichen richtigkeit wäre super.
Vielen Dank und einen schönen Abend!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:59 Mi 14.07.2010 | | Autor: | abakus |
> so, nach ner kurzen pause hab ich mal zuende gerechnet.
> ich habs mit der Partialbruchzerlegung gemacht und bin zu
> folgendem ergebnis gekommen:
>
> nach einsetzen der integrationsgrenzen
>
> [mm]-\bruch{1}{2i}[/mm] ln [mm]\bruch{-i}{4+i}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2i}[/mm] ln
> [mm]\bruch{-4-i}{i}[/mm]
>
> ein kurzes feedback zur möglichen richtigkeit wäre
> super.
>
> Vielen Dank und einen schönen Abend!
Da muss was reelles mit Arcustangens rauskommen!
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:15 Do 15.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
forme wirklich den nenner um in [mm] (x+2)^2+1 [/mm] dann u=x+2
das mit den komplexen Nst ist schlecht, weil du am ende ja wieder reelle fkt willst und alle zusammenhänge zwischen kompl und reellen fkt nicht kennst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Do 15.07.2010 | | Autor: | Jimpanse |
ok, dann hab ich wohl voll daneben geschossen.
könntest du vielleicht schematisch deinen rechenweg erläutern? das würde mir helfen, weil ichs dann nachvollziehen kann.
Vielen Dank und liebe Grüße!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:18 Do 15.07.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nenner [mm] x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1
[/mm]
und [mm] 1/(1+u^2) [/mm] hat ne einfache stammfkt.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Do 15.07.2010 | | Autor: | Jimpanse |
ja, sehr gut. so komme ich drauf!
Vielen Dank!
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