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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 Di 12.02.2008 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | man bilde durch x=0, y=0, x=2 und y=1 berandetes Gebiet G der Z-Ebene mittels folgender Funktio in die W- Ebene ab. das erhaltene Gebiet sei G*. Führen Sie jeweils die Herleitung (Rechnung) durch. Fertigen Sie jeweils ein Skizze an. Welcher Zusammenhang besteht zwischen G und G*?
a)W=z+(1-2j)
[mm] b)W=e^{\pi \bruch{1}{4}}*Z
[/mm]
[mm] c)W=\bruch{1}{Z}
[/mm]
Hinweis: in c) ist die rechnung (Herleitung) nur für eine der beiden Geraden x=2 oder y=1 auszuführen. Für die drei anderen Geraden sind die Plausibilitätsbetrachtungen mit Hilfe "allgemeiner Kreise" ausreichend. |
Ich stehe absolut auf dem Schlauch. Instinktiv würde ich einfach die vier Eckpunkte nehmen und die umrechenen. Aber ist das richtig? bei a) wäre das dann einfach eine Verschiebung.
kann mir jemand den Ansatz sagen?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Di 12.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> man bilde durch x=0, y=0, x=2 und y=1 berandetes Gebiet G
> der Z-Ebene mittels folgender Funktio in die W- Ebene ab.
> das erhaltene Gebiet sei G*. Führen Sie jeweils die
> Herleitung (Rechnung) durch. Fertigen Sie jeweils ein
> Skizze an. Welcher Zusammenhang besteht zwischen G und G*?
> a)W=z+(1-2j)
> [mm]b)W=e^{\pi \bruch{1}{4}}*Z[/mm]
> [mm]c)W=\bruch{1}{Z}[/mm]
>
> Hinweis: in c) ist die rechnung (Herleitung) nur für eine
> der beiden Geraden x=2 oder y=1 auszuführen. Für die drei
> anderen Geraden sind die Plausibilitätsbetrachtungen mit
> Hilfe "allgemeiner Kreise" ausreichend.
> Ich stehe absolut auf dem Schlauch. Instinktiv würde ich
> einfach die vier Eckpunkte nehmen und die umrechenen. Aber
> ist das richtig? bei a) wäre das dann einfach eine
> Verschiebung.
> kann mir jemand den Ansatz sagen?
Die Idee mit den Eckpunkten ist gut, allerdings weisst du damit nur, wo die Bilder der Eckpunkte liegen, und noch nicht, wie der Rand von G* aussieht. Du musst dir also noch überlegen, wie die Verbindunglinien der Eckpunkte, also die angebenen Geraden abgebildet werden.
Bei der a) ist es, wie du schreibst, eine Verschiebung.
Heisst es bei der b) wirklich [mm] $e^{\pi /4}$ [/mm] oder vielleicht [mm] $e^{i\pi/4}$ [/mm] ?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Di 12.02.2008 | | Autor: | anna_h |
Ja du hast Recht. Habe ein i vergessen. Wie die gerade aussehen wies ich nicht. in meinen Skript finde ich dazu auch keine Lösung. Das einzige was ich machen könnte ist noch entlich viele Zwischenpunkte berechnen und auf Stetigkeit setzen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Di 12.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja du hast Recht. Habe ein i vergessen. Wie die gerade
> aussehen wies ich nicht. in meinen Skript finde ich dazu
> auch keine Lösung. Das einzige was ich machen könnte ist
> noch entlich viele Zwischenpunkte berechnen und auf
> Stetigkeit setzen.
Wie die a) geht, weisst du ja. Zur b) würde ich mir überlegen, was mit einer komplexen Zahl passiert, wenn du sie mit [mm] $e^{i\pi/4}$ [/mm] multiplizierst. (Tipp: berechne [mm] $|e^{i\pi/4}|$)
[/mm]
Zur c) überlege dir, welche Punkte $z=x+iy$ auf der Geraden x=0 liegen, und wie dann die Kurve aussieht, die durch [mm] $\bruch{1}{z}$ [/mm] beschrieben wird.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mi 13.02.2008 | | Autor: | anna_h |
Ich wollte eben mal zumindest die Verschiebung in a) ausrechenen. Und die Punkte in die Exponentialschreibweise für b) bringen. Jetzt ist mir aber erst klar, das ich mir unter G nichts vorstellen kann. Wo liegen die Punkte, und vwieviele sind es?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Mi 13.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Anna
Jede solche Aufgabe sollte mit ner Zeichnung anfangen. Die 4 Geraden x=0 ,y=0, x=2 ,y=1 , kannst du doch sicher zeichnen! die begrenzen doch dein G also was ist das?
Multiplikation mit einer komplexen Zahl, heisst immer Drehung um den Winkel der den die Zahl mit der x-Achse einschliesst, und Dehnung mit dem Betrag der Zahl.
1/z heisst der Betrag wird zum Reziproken, der Winkel zum negativen Winkel, also in Richtung der konj. komplexen.
Die Aufgaben sind genau dazu da, dass du dir einfache Abbildungen im Komplexen immer besser vorstellen kannst. dazu sollte man nicht so sehr die Abbildung einzelner Punkte anstarren, sondern sich die Abbildung in der ganzen kompl. Ebene, oder wenigstens einem Teilbereich vorstellen.
reelle Abbildungen kannst du dir auch nicht vorstellen, wenn du dir nur die Werte bei ein paar ganzen zahlen anguckst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Do 14.02.2008 | | Autor: | anna_h |
Ist das so gemeint?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo anna_h,
ja, das ist dein Gebiet G
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Do 14.02.2008 | | Autor: | anna_h |
[Dateianhang nicht öffentlich]
So das habe ich jetzt das erste ict nur die verschiebung.
Bei dem zweiten habe ich c) gemacht. Aber einer der vier Eckpunkte liegt im unentlichen, oder?
kann es mir nicht anders erklären
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Do 14.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Verschiebung ist richtig.
1/z sind nur 2 Punkte richtig.
zeichne am besten den Viertel-Kreis mit Radius 1 in G ein. da darauf |z|=1 ist auch 1/|z|=1 also wieder auf nen Viertelkreis nur unterhalb der x-Achse. alles von G was ausserhalb dieses Kreises ist, wird nach innen, alles was innerhalb ist nach aussen. (0,0) geht nach [mm] \infty.
[/mm]
Am besten, du zeichnest 2 Kreise und ein paar Linien in G ein, un die dann wieder als Kreise oder Linien in G'.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Do 14.02.2008 | | Autor: | anna_h |
Vielen Dank. Aber nach meinem Verständnis (was sicherlich falsch ist) ist nur ein Punkt falsch. der bei j müsste bei 0+0j liegen. welcher ist den noch falsch?
P.S. das mit den Kreisen habe ich im Kopf gemacht. 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Do 14.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das braune soll doch G' sein? Du selbst hast gesagt, dass es Pkte bei unendlich gibt. wo etwa ist das Bild v0n z=0,1+0,01*i
Die drei angkreuzten Punkte gehören zu G' das war ja nicht der Fehler. wo ligen alle Punkte die innerhalb des Vietelkreises mit r=0,5 in G liegen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Do 14.02.2008 | | Autor: | anna_h |
Also wenn ich dich richtig verstanden habe sind meine drei Punkte i 2+i und 2 richtig. Der 0+0i ist falsch, ich weiss nur nicht wo der hin geht a-> [mm] \infty [/mm] und b-> [mm] \infty.
[/mm]
Ich weiss aber auch nicht exakt wie die verbindungen der punkte verlaufen. Zum Beispiel bestimmt nicht linear
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Do 14.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Geraden durch (0,0) werden zu geraden durch 0,0 aber die Punkte mit Betrag kleiner 1 gehen nach Punkten >1 und die >1 nach <1.
Ich hatte doch gesagt, sieh dir ein paar Kreisstücke um (0,0) an, Geraden, die nicht durch 0 gehen, werden zu Kreisen. usw.
Solche Abb. sieht man sich eben nicht als Abbildungen von Punkten an, sondern als Abbildungen von Geraden. nimm etwa die Strecke (0,0.5) bis (2,0.5) oder die diagonalen in deinem Rechteck, oder eben Kreisstücke, die in deinem rechteck liegen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Do 21.02.2008 | | Autor: | anna_h |
Es tut mir Lei, aber ich verstehe es nicht. Die waagerechte Gerade durch (0;0,5) ergibt einen Kreis der durch (0;0) und (0;0,25) geht. Das ist für mich ein Rätsel. Da es sich ja auch nur um einen viertelkreis handelt. Ich weiss nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Do 21.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo anna
> Es tut mir Lei, aber ich verstehe es nicht. Die waagerechte
> Gerade durch (0;0,5) ergibt einen Kreis der durch (0;0) und
> (0;0,25) geht. Das ist für mich ein Rätsel. Da es sich ja
> auch nur um einen viertelkreis handelt. Ich weiss nicht
> weiter.
der Punkt 0,0,5 also z=i/2 geht nach 2/i also (0;-1) der Punkt (1;0,5) also z=1+i/2 geht nach 1/(1+i/2)=(1-i/2)/1,25 der Punkt (2;0,5) z=2+i/2 nach 1/(2+i/2)=(2-i/2)/4,25
Geh mal zu [url=http://3d-xplormath.org/j/applets/de/index.html] toller link
da auf Konforme Abbildungen, da auf 1/(z-a)
dann kannst du unter Einstellungen, Parameter einstellen genau dein Gebiet U_min=0, U_max=2 v_min=0 v_max=1 einstellen.
Unter Aktionen kannst du dann mit der Maus noch Strecken oder Kreise auswählen, deren Bild du sehen willst.
Ausserdem gibts für andere Abbildungen noch den Punkt Nutzerdef. da kannst du dir beliebige komplexe Abbildungen zeigen lassen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Di 11.03.2008 | | Autor: | anna_h |
Habe die Frage jetzt bis auf eine Kleinigkeit gelöst. In Aufgabenteil b) ist es ja eine Drehung ohne Streckung. Aber wie rechne ich den Winkel um. Ist mir fast ein bisschen peinlich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Di 11.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) warum willst du ihn umrechnen?
b) Winkel im Bogenmass= Maßzahl des Bogens im Einheitskreis!
also 360° entspricht dem Umfang des [mm] Einheitskreises=2\pi.
[/mm]
180 [mm] \pi
[/mm]
90° [mm] \pi/2
[/mm]
allgemein [mm] Bogenmass/(2\pi)*360° [/mm] = Gradmaß
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Di 11.03.2008 | | Autor: | anna_h |
In b) muss ich dann das Gebilde um 45 Grad drehen. Ich wusste halt nicht wie weit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Di 11.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo anna
ja, im positiven Sinn.
Gruss leduart
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