www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - komplexe und reele JNF+Basis
komplexe und reele JNF+Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

komplexe und reele JNF+Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:11 Sa 28.04.2007
Autor: grashalm

Aufgabe
Bestimmen sie zuerst eine komplexe und dann eine reele JNF der Matrix
[mm] A:=\pmat{ 3 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1} [/mm] und geben sie in beiden Fällen auch eine Jordanbasis an.

Hallo,

so ich hab als charakteristisches Polynom [mm] (x-3)*(x^{2}-2*x+2) [/mm]
So also EW: 3; 1+i ;1-i
also als komplexe [mm] JNF:=\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 1+i & 0\\ 0 & 0 & 1-i} [/mm]
1.Frage bei 3 verschiedenen EW können ja nur Jordankästchen der Größe 1 auftreten oder?
So die reele [mm] JNF:=\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0} [/mm]
sieht diese so aus?
mh und bei den Basen hab ich immer Probleme kann mir da nochmal wer helfen?

        
Bezug
komplexe und reele JNF+Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:38 Sa 28.04.2007
Autor: MicMuc

Die komplexe JNF ist richtig.
Eine J-Basis erhälst Du hier ganz leicht, indem Du zu den 3 paarweise disjunkten Eigenwerten jeweils einen Eigenvektor berechnest. (Ich gehe davon aus, dass Du das kannst.)

Die reelle JNF ist falsch. Deine Matrix besitzt gar nicht mehr das von Dir angegeben charakteristische Polynom.

Zur reellen JNF:
1) Nimm einen Eigenvektor zum Eigenwert 3
2) Setze in [mm] x^2-2x+2 [/mm] Deine Matrix A ein und berechne hiervon eine Basis des Kerns.

Aus 1) und 2) erhälst Du eine Jordan-Basis für die reelle JNF.





Bezug
                
Bezug
komplexe und reele JNF+Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:06 Sa 28.04.2007
Autor: grashalm

Danke für die schnelle Reaktion.
Mh nochmal zu der reelen Matrix stehen da nicht realteile unter bzw. über der Diagonalen?

Zu den Eigenvektoren mh also hab ich (1;0;0);(1;1+2i;-2+i);(1;1-2i;-2-i)
was ja dann meine komplexe Basis ist.

Bei der reelen hab ich ja auch (1;0;0)
wie meinst das mit dem A da in die Gleichung einsetzen für x?

Bezug
                        
Bezug
komplexe und reele JNF+Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 03:27 So 29.04.2007
Autor: MicMuc

Die reelle JNF wäre dann wohl
$ [mm] JNF:=\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1}$ [/mm]
oder
$ [mm] JNF:=\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1}$ [/mm]
(musst Du zur Not mit Deiner Vorlesung vergleichen)

Zum Einsetzen der Matrix:

Du kannst Matrizen bzw. Endomorphismen ganz normal in Polynome einsetzen, statt x nimmst Du dann halt Deine Matrix A bzw. Deinen Endomorphismus.

Das Minimalpolynom einer Matrix ist beispielsweise das normierte Polynom kleinsten Grades mit der Eigenschaft p(A)=0 (Nullabbildung, also die Nullmatirx).

Wenn Du [mm] $B:=A^2-2*A+2E_3$ [/mm] berechnest, wirst Du eine Matrix mit Rang 1 erhalten. Der Kerns dieser Matrix $B$ ist ein A-invarianter Unterraum.

Für eine reelle Jordambasis benötigst Du dann noch eine passende Basis dieses Unterraumes. (Eine beliebige Basis reicht hier nicht aus, um den speziellen 2x2 Block der Form [mm] $\pmat{ & 1 & 1\\& 1 & -1}$ [/mm] zu erhalten.) Vielleicht bekommst Du das selber hin.


Bezug
                                
Bezug
komplexe und reele JNF+Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 So 29.04.2007
Autor: grashalm

Also wir hatten einmal ein Bsp: da waren die Eigenwerte
[mm] 0;0;i\wurzel{2};-i\wurzel{2} [/mm]

da haten wir als [mm] komplexe:\pmat{ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i\wurzel{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -i\wurzel{2}} [/mm]
und als [mm] reele:\pmat{ 0 & 1 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \wurzel{2} \\ 0 & 0 & -\wurzel{2} & 0} [/mm]

Also würde ich in meiner Aufgabe das so machen: [mm] \pmat{ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 } [/mm]

mh zu der Basis also für [mm] B=\pmat{ 5 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
mh dazu Basen im kern. mh aber denk mal die sind fast zu beliebig.
(1,-5,0);(0,2,1)
und den den ich schon hatte.


Bezug
                                        
Bezug
komplexe und reele JNF+Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:13 So 29.04.2007
Autor: MicMuc

Die reelle
$ [mm] JNF:=\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1} [/mm] $

Wenn Du einen irreduzibeln Teiler vom Grad 2 im char. Polynom hast, hier ist das [mm] $p(x)=x^2-2x+2$, [/mm] dann gibt es zwei echt komplexe, zueinander konjugierte Nullstellen, hier: $1+i$ und $1-i$.
Allgemein: [mm] $z_1=a+bi$ [/mm] und [mm] $z_2=a-bi$ [/mm]

Der entsprechende $2 [mm] \times [/mm] 2$ Block in der reellen JNF lautet dann:
[mm] $\pmat{ a & b \\ -b & a} [/mm] $ (Du kannst ja mal das char. Polynom von diesem Block berechnen und die komplexen Nullstellen angeben!)

Zu Deiner Basis:
Da hast Du Dich bestimmt vertippt:
[1,5,0] wäre besser!

Wenn Du nun aber die Basis
[1,0,0], [1,5,0], [0,2,1]
nimmst und eine Darstellung von A zu dieser Basis berechnest, kommt folgendes heraus:

[mm] $\pmat{ 3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & -5 & -1} [/mm] $

Hier besitzt der 2 x 2 Block noch nicht die gewünschte Form!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de