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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Mi 25.01.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
hey leute,
ich habe mir in letzter zeit viel über die komplexen zahlen durchgelesen und hoffe sie auch einigermaßen verstanden zu haben. Einige Probleme sind mir jedoch geblieben.
1) Ist eigentlich jeder Ausdruck wie zB ein Bruch der Form
[mm] \bruch{b+i}{a^2} [/mm] eine komplexe zahl, da die imaginäre Einhit i
auftaucht? (wobei, a,b [mm] \in \IR)
[/mm]
2) Angenommen ich möchte den betrag folgendes bruches lösen:
[mm] |\bruch{(a+ib)^2}{a^2+b^2}|, [/mm] wie mache ich das genau? ich müsste
ja [mm] \bruch{(a+ib)^2}{a^2+b^2} [/mm] mit dem komplexkonjugierten multiplizieren und dann die wurzel ziehen, nur was ist das komplexkonjugierte von [mm] \bruch{(a+ib)^2}{a^2+b^2}??
[/mm]
ich hoffe ihr könnt mir helfen.. gruß ari
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Hallo Ari!
> 1) Ist eigentlich jeder Ausdruck wie zB ein Bruch der Form
> [mm]\bruch{b+i}{a^2}[/mm] eine komplexe zahl, da die imaginäre
> Einhit i
> auftaucht? (wobei, a,b [mm]\in \IR)[/mm]
Ja, das ist eine komplexe Zahl, denn Du kannst diesen Bruch folgendermaßen zerlegen:
[mm] $\bruch{b+i}{a^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b}{a^2}+\bruch{i}{a^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b}{a^2}+i*\bruch{1}{a^2}$
[/mm]
Dabei ist nun [mm] $\bruch{b}{a^2}$ [/mm] der Realteil und [mm] $\bruch{1}{a^2}$ [/mm] der Imaginärteil.
> 2) Angenommen ich möchte den betrag folgendes bruches
> lösen:
> [mm]|\bruch{(a+ib)^2}{a^2+b^2}|,[/mm] wie mache ich das genau?
> ich müsste ja [mm]\bruch{(a+ib)^2}{a^2+b^2}[/mm] mit dem
> komplexkonjugierten multiplizieren und dann die wurzel
> ziehen, nur was ist das komplexkonjugierte von
> [mm]\bruch{(a+ib)^2}{a^2+b^2}??[/mm]
Mit dem "Konjugierten multiplizieren" machst Du lediglich, wenn Du im Nenner eines Bruches eine komplexe Zahl hast. Dies ist in Deinem Falle nicht so, da der Nenner reell ist.
Hier kannst Du Zähler und Nenner getrennt betrachten:
[mm] $\left|\bruch{(a+i*b)^2}{a^2+b^2}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left|(a+i*b)^2\right|}{\left|a^2+b^2\right|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\left|a^2+i*2ab-b^2\right|}{a^2+b^2}$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{a^2+b^2}*\left|\red{\left(a^2-b^2\right)}+i*\blue{2ab}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^2+b^2}*\wurzel{\red{\left(a^2-b^2\right)}^2+(\blue{2ab})^2 \ }$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{a^2+b^2}*\wurzel{a^4-2*a^2*b^2+b^4+4*a^2*b^2 \ } [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^2+b^2}*\wurzel{a^4+2*a^2*b^2+b^4 \ }$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{1}{a^2+b^2}*\wurzel{\left(a^2+b^2\right)^2 \ } [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{a^2+b^2}*\left(a^2+b^2\right) [/mm] \ = \ 1$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Mi 25.01.2006 | | Autor: | AriR |
jo vielen dank schonmal..
also ist eignetlich jeder ausdruck mit einem "i" eine komplexe zahl, außer man kann den ausdruck so umschreiben kann, dass das i rausfällt wie zb bei [mm] a+i^2 [/mm] was ja a-1 wäre, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:24 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Arir,
sorry, dass ich mich einmische, aber ich will dich schnell auf eines hinweisen: Auch die Zahl 2 ist eine komplexe Zahl! 
Es ist so, dass die reellen Zahlen eine Teilmenge der komplexen Zahlen sind: [mm] \IR \subset \IC [/mm].
D.h. jede reelle Zahl ist auch eine komplexe Zahl (aber natürlich gilt das nicht umgekehrt!).
Ein Ausdruck, in dem ein [mm]i[/mm] vorkommt, kann eine echt komplexe Zahl (das ist ein Element aus [mm] \IC \backslash \IR[/mm]) sein. Aber das muss nicht so sein - schließlich ist [mm]i^{2}[/mm] zwar eine komplexe  aber keine echt komplexe Zahl, da [mm]i^{2}=-1\in\IR[/mm].
Verstehst du, worauf ich hinaus will, oder hab ich dich jetzt nur noch mehr verwirrt? Frag ansonsten nochmal nach!
MFG,
Yuma
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Mi 25.01.2006 | | Autor: | AriR |
ne das was du gesagt hast hab ich wohl verstanden danke :) das hilft mir jetzt auch miene frage besser zu stellen:
also ist jeder ausdruck mit einem i, welches nicht so umgeformt werden kann, dass das i wegfällt (wie zB [mm] hier:(ai)^2=-a^2) [/mm] eine echt komplexe Zahl? ja oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 Mi 25.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
genauso ist es
LG Matthias.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Mi 25.01.2006 | | Autor: | AriR |
jo vielen vielen dank euch allen :)
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