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| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Wegintegrale
[mm] \integral_{ }^{ }{f(z) dz} [/mm] entlang der vorgegebenen
Wege:
a) f(z) = [mm] |z|^3 [/mm] entlang des geschlossenen Weges, der durch die Strecke von −1 nach 1 und den oberen Einheitshalbkreis gegeben ist.
b) f(z) = [mm] z^3 [/mm] entlang des geschlossenen Weges, der durch die Strecke von −1 nach 1 und den oberen Einheitshalbkreis gegeben ist |
Hallo,
kann mir jemand sagen ob ich die Definition richtig angwand habe?
also für a)
[mm] \integral_{ }^{ }{f(z) dz}=\integral_{0}^{\pi}{f(z(\phi))\bruch{dz}{d\phi} }d\phi
[/mm]
mit [mm] z(\phi)=|z|e^{i\phi}=e^{i\phi} [/mm] da |z|=1 und
[mm] \bruch{dz(\phi)}{d\phi}=ie^{i\phi} [/mm] und somit ist
[mm] \integral_{0}^{\pi}{ie^{i\phi}{d\phi}}=2
[/mm]
und für b) bekomme ich auf gleiche Weiste gerechnet 1. Und dann häte ich noch eine Frage wie Ihr die c) versteht:
f(z) = [mm] \overline{z}^n, [/mm] n Element Z entlang des positiv orientierten Einheitskreises.
Entlang des positiv orientierten Einheitskreises? Also einmal im Uhrzeigersinn um den Einheitskreis?
vielen dank schonmal für eure Antworten 
mfg
Runkel
ps:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:54 Mo 27.04.2015 | | Autor: | JoOtt |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Integrale entlang der beschriebenen geschlossenen Wege:
f(z) = [mm] |z|^2 [/mm] entlang des Weges, der durch die Strecke von -1 nach 1 und den oberen Einheitshalbkreisgegeben ist. |
Hallo,
ich habe diesen uralten Artikel gefunden und er hat mir extrem weitergeholfen, ich muss die Aufgabe aber am Mittwoch in der Übungsgruppe vorrechnen, daher habe ich noch ein paar Fragen:
Mein Rechenweg für die Berechnung über den oberen Einheitshalbkreis sieht bisher folgendermaßen aus:
[mm] \int_{0}^{\pi} |e^{it}|^2*ie^{it}\, [/mm] dt mit [mm] |e^{it}|^2=|cos(x)+isin(x)|^2=(cos(x)^2+sin(x)^2)^2=1^2=1 [/mm] und [mm] \int_{0}^{\pi} ie^{it}\, [/mm] dt=-2.
Ich verstehe allerdings nicht, wie der Weg von -1 bis 1 zu verstehen ist, wie sieht der Weg [mm] \gamma [/mm] dafür aus? Mein Gedanke:
[mm] \gamma: [-1,1]\to\IC [/mm] , t [mm] \mapsto [/mm] t
Aber wenn ich dann das Wegintegral berechne bekomme ich
[mm] \int_{-1}^{1} |t|^2*1\, [/mm] dt wobei [mm] |t|^2=t^2 [/mm] ist, oder nicht? wenn ich dann das Integral berechne, kommt 2/3 heraus - laut der Rechnung in dem anderen post sollte aber 1/2 herauskommen, oder nicht? Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mo 27.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie die folgenden Integrale entlang der
> beschriebenen geschlossenen Wege:
> f(z) = [mm]|z|^2[/mm]
War es nicht $f(z) = [mm] |z|^3 [/mm] $ ?
> entlang des Weges, der durch die Strecke von
> -1 nach 1 und den oberen Einheitshalbkreisgegeben ist.
> Hallo,
>
> ich habe diesen uralten Artikel gefunden und er hat mir
> extrem weitergeholfen, ich muss die Aufgabe aber am
> Mittwoch in der Übungsgruppe vorrechnen, daher habe ich
> noch ein paar Fragen:
>
> Mein Rechenweg für die Berechnung über den oberen
> Einheitshalbkreis sieht bisher folgendermaßen aus:
> [mm]\int_{0}^{\pi} |e^{it}|^2*ie^{it}\,[/mm] dt mit
> [mm]|e^{it}|^2=|cos(x)+isin(x)|^2=(cos(x)^2+sin(x)^2)^2=1^2=1[/mm]
> und [mm]\int_{0}^{\pi} ie^{it}\,[/mm] dt=-2.
O.K.
>
> Ich verstehe allerdings nicht, wie der Weg von -1 bis 1 zu
> verstehen ist, wie sieht der Weg [mm]\gamma[/mm] dafür aus? Mein
> Gedanke:
> [mm]\gamma: [-1,1]\to\IC[/mm] , t [mm]\mapsto[/mm] t
Genau !
> Aber wenn ich dann das Wegintegral berechne bekomme ich
> [mm]\int_{-1}^{1} |t|^2*1\,[/mm] dt wobei [mm]|t|^2=t^2[/mm] ist, oder
> nicht? wenn ich dann das Integral berechne, kommt 2/3
> heraus - laut der Rechnung in dem anderen post sollte aber
> 1/2 herauskommen, oder nicht? Wo liegt mein Fehler?
Du hast $f(z) = [mm] |z|^2 [/mm] $ betrachtet. Es war aber $f(z) = [mm] |z|^3 [/mm] $
FRED
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mo 27.04.2015 | | Autor: | JoOtt |
Danke für dir schnelle Antwort! Im ursprünglichen Post war es [mm] |z|^3, [/mm] aber meine aktuelle ist [mm] |z|^2. [/mm] Stimmt dann bei meiner Rechnung die 2/3? Das gesamte Wegintegral wäre dann ja -1 1/3 oder?
Sorry für eventuell unschöne Formatierungen... Schreibe Grad vom Handy aus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Mo 27.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Danke für dir schnelle Antwort! Im ursprünglichen Post
> war es [mm]|z|^3,[/mm] aber meine aktuelle ist [mm]|z|^2.[/mm] Stimmt dann
> bei meiner Rechnung die 2/3? Das gesamte Wegintegral wäre
> dann ja -1 1/3 oder?
Ja
FRED
>
> Sorry für eventuell unschöne Formatierungen... Schreibe
> Grad vom Handy aus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 So 24.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechnen Sie die folgenden Wegintegrale
> [mm]\integral_{ }^{ }{f(z) dz}[/mm] entlang der vorgegebenen
> Wege:
>
> a) f(z) = [mm]|z|^3[/mm] entlang des geschlossenen Weges, der durch
> die Strecke von −1 nach 1 und den oberen
> Einheitshalbkreis gegeben ist.
> b) f(z) = [mm]z^3[/mm] entlang des geschlossenen Weges, der durch
> die Strecke von −1 nach 1 und den oberen
> Einheitshalbkreis gegeben ist
> Hallo,
> kann mir jemand sagen ob ich die Definition richtig angwand
> habe?
> also für a)
>
> [mm]\integral_{ }^{ }{f(z) dz}=\integral_{0}^{\pi}{f(z(\phi))\bruch{dz}{d\phi} }d\phi[/mm]
> mit [mm]z(\phi)=|z|e^{i\phi}=e^{i\phi}[/mm] da |z|=1 und
> [mm]\bruch{dz(\phi)}{d\phi}=ie^{i\phi}[/mm] und somit ist
>
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{ie^{i\phi}{d\phi}}=2[/mm]
Dieses Integral ist nicht +2 sondern -2.
Das ist aber nur die zweite Hälfte der Aufgabe, denn du hast nur über den halben Einheitskreis integriert. Es fehlt noch das Integral über die Strecke von -1 nach +1.
>
> und für b) bekomme ich auf gleiche Weiste gerechnet 1.
Da bekomme ich 0.
> Und
> dann häte ich noch eine Frage wie Ihr die c) versteht:
>
> f(z) = [mm]\overline{z}^n,[/mm] n Element Z entlang des positiv
> orientierten Einheitskreises.
>
> Entlang des positiv orientierten Einheitskreises? Also
> einmal im Uhrzeigersinn um den Einheitskreis?
Ja, genau.
Viele Grüße
Rainer
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ja richtig hab die Grenzen vertauscht, soll heißen [mm] \integral_{\pi}^{0}{ie^{i\phi} d\phi}.
[/mm]
Weil ich dachte ich soll nur über den oberen Einheitshalbkreis integrieren, von -1 bis 1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 So 24.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ja richtig hab die Grenzen vertauscht, soll heißen
> [mm]\integral_{\pi}^{0}{ie^{i\phi} d\phi}.[/mm]
> Weil ich dachte ich
> soll nur über den oberen Einheitshalbkreis integrieren,
> von -1 bis 1.
Dann lies dir die Aufgabe nochmal durch: da steht was anderes: "entlang des geschlossenen Weges, der durch die Strecke von −1 nach 1 und den oberen Einheitshalbkreis gegeben ist"
Viele Grüße
Rainer
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ist der Weg dann nicht immer =0 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 So 24.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ist der Weg dann nicht immer =0 ?
Nein, wieso sollte das so sein?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:27 So 24.01.2010 | | Autor: | Runkelmunkel |
weil ich integriere doch einmal von links nach rechts, da kommt 2 raus und einmal von rechts nach links mit -2.
mfg
Runkel
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ach nein jetzt hab ichs, das ist eine Gerade und ein Halbkreis.....omg
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ist das Ergebnis von a) denn 3/2?
mfg
Runkel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 Mo 25.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ist das Ergebnis von a) denn 3/2?
Ich habe -3/2 heraus; 1/2 für die Strecke und -2 für den Halbkreis.
Viele Grüße
Rainer
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okay danke für deine Hilfe
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