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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Mo 15.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Kurvenintegral [mm] \integral_{K}^{}{\bruch{z}{z^{\sim}} dz}, [/mm] wobei K zunächst entegen dem Uhrzeigersinne auf der Kreislinie |z|= 2 von -2i bis 2i und dann geradlinig von 2i wieder zurüc nach -2i läuft |
Hallo,
ich komme mit der aufgabe irgendwie nicht zurande,
weiss nicht wie ich eine Parameterdarstellung finden soll.
und zwar wäre doch anhand des kreises
[mm] x^{2}+y^{2}= [/mm] 2 eine parameterdarstellung.
[mm] t^{2}= x^{2} [/mm] und damit y= [mm] \wurzel{2-t^2}
[/mm]
z(t) wäre damit: t+ i* [mm] \wurzel{2-t^{2}}
[/mm]
und
z^(t)= 1- i [mm] *\bruch{t}{\wurzel{2-t^{2}}
wenn ich das nun einsetze
\integral_{K}^{}{\bruch{t+ i* \wurzel{2-t^{2}}}{t- i* \wurzel{2-t^{2}}}*(1-i \bruch{t}{\wurzel{2-t^{2}})}}dt}
[/mm]
und das ist ja echt doof zu rechnen oder?
hat mir jemand einen tip?
danke:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Mo 15.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Kurvenintegral
> [mm]\integral_{K}^{}{\bruch{z}{z^{\sim}} dz},[/mm]
Was steht da unterm Integral ??
FRED
> wobei K zunächst
> entegen dem Uhrzeigersinne auf der Kreislinie |z|= 2 von
> -2i bis 2i und dann geradlinig von 2i wieder zurüc nach
> -2i läuft
> Hallo,
>
> ich komme mit der aufgabe irgendwie nicht zurande,
>
> weiss nicht wie ich eine Parameterdarstellung finden soll.
>
> und zwar wäre doch anhand des kreises
>
> [mm]x^{2}+y^{2}=[/mm] 2 eine parameterdarstellung.
> [mm]t^{2}= x^{2}[/mm] und damit y= [mm]\wurzel{2-t^2}[/mm]
>
> z(t) wäre damit: t+ i* [mm]\wurzel{2-t^{2}}[/mm]
> und
> z^(t)= 1- i [mm]*\bruch{t}{\wurzel{2-t^{2}}
wenn ich das nun einsetze
\integral_{K}^{}{\bruch{t+ i* \wurzel{2-t^{2}}}{t- i* \wurzel{2-t^{2}}}*(1-i \bruch{t}{\wurzel{2-t^{2}})}}dt}[/mm]
>
>
> und das ist ja echt doof zu rechnen oder?
>
> hat mir jemand einen tip?
> danke:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Mo 15.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
das K steht fuer die kurve
und das [mm] z^{\sim} [/mm] steht für komplex konjugiert
also Z=x-iy oder
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Mo 15.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Halbkreis:
[mm] c(t)=2*e^{it} [/mm] von [mm] t=-\\pi/ [/mm] bis [mm] +\pi/2
[/mm]
die Gerade kannst du wohl selbst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 15.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
hm ok,
kannst du mir noch sagen, warum man dies so wählt?
und ob meine wahl dann grundsätzlich falsch war...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:23 Mo 15.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.ein Kreis hat grundsätzlich, auch im Reellen, die beste Darstllung als (rcost,rsint) und nicht in der impliziten Form [mm] x^2+y^2=r^2
[/mm]
das wäre dann z=r(cost+isint) und as kann man eben vereinfacht mit [mm] cost+isint=e^{it} [/mm] schreiben.
ausserdem beim multiplizieren, dividieren ,quadrieren Wurzrlziehen ist die Darstellung von [mm] z=r*e^{i\phi} [/mm] immer vorzuziehen. dann sieht man auch gleich, wie r fürr=const also einen Kreis aussieht.
Deine Darstellung ist nicht falsch, aber du hast ja selbst gesehen dass es zu einm schrecklichen Intgral führt.
Wenn du die Kurve jetzt hast, sieh noch mal nach, wie man über so ne Kurve integriert.!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Di 16.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
Guten Morgen,
naja die prinzipielle herangehensweise mit der Parameterdarstellung ist ja,
[mm] \integral_{K}^{}{f(z) dz}= \integral_{a}^{b}{f(z(t)) f'(t) dt}
[/mm]
daher habe ich z= 2*e^(it)
[mm] z\pim [/mm] = [mm] 2*e^{-it}
[/mm]
f'(t) = [mm] 2i*e^{it}
[/mm]
-> [mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch { 2*e^{it}}{2*e^{-it}}* 2i*e^{it} dt}
[/mm]
mit Umformungen komme ich so auf:
=2i [mm] \integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{e^{3it}dt}
[/mm]
= [mm] \bruch{2}{3}*[cos(3/2 \pi)+ [/mm] i* sin (3/2 [mm] \pi)]-[cos(-3/2 \pi)+ [/mm] i* sin (-3/2 [mm] \pi)]=\bruch{4}{3}*i*-1
[/mm]
ist das so korrekt?
Vielen dank für die Hilfe,
lg
muhmuh
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Hallo muhmuh,
> Guten Morgen,
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>
> naja die prinzipielle herangehensweise mit der
> Parameterdarstellung ist ja,
>
> [mm]\integral_{K}^{}{f(z) dz}= \integral_{a}^{b}{f(z(t)) f'(t) dt}[/mm]
>
> daher habe ich z= 2*e^(it)
> [mm]z\pim[/mm] = [mm]2*e^{-it}[/mm]
> f'(t) = [mm]2i*e^{it}[/mm]
>
> -> [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch { 2*e^{it}}{2*e^{-it}}* 2i*e^{it} dt}[/mm]
>
> mit Umformungen komme ich so auf:
>
> =2i [mm]\integral_{-\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{e^{3it}dt}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = [mm]\bruch{2}{3}*[cos(3/2 \pi)+[/mm] i* sin (3/2 [mm]\pi)]-[cos(-3/2 \pi)+[/mm] i* sin (-3/2 [mm]\pi)]=\bruch{4}{3}*i*\red{(}-1\red{)}[/mm]
[mm] $=-\frac{4}{3}i$
[/mm]
>
> ist das so korrekt?
Ja, für diesen Teilweg!
>
> Vielen dank für die Hilfe,
>
> lg
>
> muhmuh
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Di 16.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
gut, der andere teilweg ist klar.
vielen dank für die hilfe:)
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