komplexwertige Integrale < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:22 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Löse folgendes komplexwertiges unbestimmtes Integral:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x-ix^2} dx} [/mm] |
Hi Leute, ich hab grad versucht die obige Aufgabe zu lösen und bin auf folgenden Ansatz gekommen: Ich habe erstmal mit dem komplex-konjugierten multipliziert, um das i aus dem Nenner zu bekommen. Das heißt es steht da [mm] \integral_{}^{}{\bruch{x+ix^2}{(x-ix^2)(x+ix^2)} dx} [/mm] und umgeformt ist das [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1+ix}{x+x^3} dx} [/mm] Ist das bis dahin richtig und wenn ja wie gehts denn jetzt weiter?:(
Brauche mal n bisschen Hilfe
Gruß David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 So 06.02.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo David,
Du kannst jetzt Real- und Imaginärteil getrennt voneinander integrieren mit den Mitteln, die Du aus der Intergralrechnung kennst.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
ok hab das jetzt getrennt in [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x+x^3} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{i}{x+1} dx} [/mm] wie mach ich denn jetzt am besten weiter?:O
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
das zweite Integral kannst du direkt , das erste Partialbruchzerlegung.da da der Nenner [mm] x*(x^2+1) [/mm] ist,
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ok alles klar^^ bin aber nich so gut in PBZ xD is der Anfang [mm] \bruch{A}{x} +\bruch{B}{x^2+1} [/mm] ?
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Hallo David90,
> Ok alles klar^^ bin aber nich so gut in PBZ xD is der
> Anfang [mm]\bruch{A}{x} +\bruch{B}{x^2+1}[/mm] ?
Das ist nicht ganz richtig:
[mm]\bruch{A}{x} +\bruch{B\red{x+C}}{x^2+1}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:29 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
der Ansatz ist falsch,
$ [mm] \bruch{A}{x} +\bruch{Bx+C}{x^2+1} [/mm] $ ? wenn ein polynom 2 ten Grades im nenner steht, da es so einfach ist kann man c auch weglassen, es kommt aber auch C== raus.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
kann es sein dass für A=1 und für B=0 rauskommt?:O
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo,
sicher nicht, das kannst du doch durch einsetzen leicht sehen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
Ok stimmt, dann hab ich für A=1, für B=-1 und für C=0 raus:)
also steht da: [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^2+1} dx} [/mm] + [mm] i\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^2} dx} [/mm] So und jetzt muss ich ja nur noch ne Stammfunktion bilden, von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] wäre das lnx, aber wie sieht denn die Stammfunktion von den beiden anderen Termen aus? War das nicht irgendetwas mit dem Tangens?:O
Gruß David
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> Ok stimmt, dann hab ich für A=1, für B=-1 und für C=0
> raus:)
> also steht da:
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x}-\bruch{1}{x^2+1} dx}[/mm] +
> [mm]i\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^2} dx}[/mm] So und jetzt muss ich
> ja nur noch ne Stammfunktion bilden, von [mm]\bruch{1}{x}[/mm] wäre
> das lnx, aber wie sieht denn die Stammfunktion von den
> beiden anderen Termen aus? War das nicht irgendetwas mit
> dem Tangens?:O
der atan abgeleitet ergibt
[mm] \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}\arctan(x)=\frac{1}{1+x^2}
[/mm]
ergo ist der bruch integriert arctan
> Gruß David
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
ok alles klar dann ist das Integral lnx-arctanx+i*arctanx :) Könnt mir ja nochmal eine Rückmeldung machen ob das richtig ist^^ Danke nochmal
Gruß David
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> ok alles klar dann ist das Integral lnx-arctanx+i*arctanx
> :) Könnt mir ja nochmal eine Rückmeldung machen ob das
> richtig ist^^ Danke nochmal
> Gruß David
ich seh grad, du hast vor meiner antwort ein x in nem zähler verschlampt. mit diesem x ist die integration einfacher
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
Wo hab ich denn ein x verschlampt?:O Ist die Stammfunktion denn nicht richtig?
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> Wo hab ich denn ein x verschlampt?:O Ist die Stammfunktion
> denn nicht richtig?
du hattest doch [mm] \[\frac{1}{{x}^{3}+x}\]
[/mm]
das wurde durch die pbz zu [mm] \[\frac{1}{x}-\frac{x}{{x}^{2}+1}\]
[/mm]
und dieses x hast du nicht mehr mitgenommen
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 06.02.2011 | | Autor: | David90 |
Achso auf jeden Fall^^ dann müsste die Stammfunktion lnx-x*arctanx+i*arctanx sein...
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> Achso auf jeden Fall^^ dann müsste die Stammfunktion
> lnx-x*arctanx+i*arctanx sein...
also nochmal von anfang an.......
wir hatten
$ [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x+x^3} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{i}{x^2+1} dx} [/mm] $
aus dem vorderen wurde
[mm] \int \[\frac{1}{x}-\frac{x}{{x}^{2}+1}\]
[/mm]
da sehe ich bei beiden nen logarithmus als stammfunktion
und bei dem hinteren sowieso
edit: oben hab ich deinen imaginären teil falsch abkopiert, es muss im nenner [mm] x^2 [/mm] heissen, also atan
gruß tee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 So 06.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Wenn Du nach der Partialbruchzerlegung des Realteils mit der Substitution weiter "arbeitest", dann kommst Du bei dem Realteil auf die Stammfunktion
[mm] -\bruch{1}{2}ln(x^2+1)+ln(x)
[/mm]
Und beim Imaginärteil bist Du mit
[mm] i*\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^2} dx}=i*arctan(x)
[/mm]
schon richtig!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 So 06.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallöchen!
Ich muss mal kurz nachfragen....
Wie kommst Du auf das Integral mit dem Imaginärteil?
Wenn Du das Integral
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x+ix}{x+x^3} dx}
[/mm]
aufteilst dann hast Du für den Realteil das hier:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x+x^3} dx}
[/mm]
Aber wie kommst Du auf den Imaginärteil:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{i}{x+1} dx} [/mm] ?
Ist das nicht so hier:
[mm] i*\integral_{}^{}{\bruch{1}{x+x^3} dx} [/mm]
oder wo ist plötzlich das x geblieben? Oder "verfällt" ein x, wenn man in den Imaginärteil aufsplittet?
Ich habe die Aufgaben nämlich auch gerechnet, habe es aber etwas anders gemacht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:14 So 06.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Ich meinte natürlich
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1+ix}{x+x^3} dx}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja da ist ein Fehler beim Aufsplitten passiert, der imag integrand muss
[mm] i*1/(1+x^2) [/mm] sein
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 So 06.02.2011 | | Autor: | lexjou |
Also jetzt nochmal kurz zusammengefasst, damit ich nicht durcheinander komme...
Bis zu dem hier ist alles klar:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1+ix}{x+x^{3}} dx}
[/mm]
Dann die Aufteilung in Re:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x+x^{3}} dx}
[/mm]
Und Img... was bei mir aber auf das hier führt...:
[mm] i*\integral_{}^{}{\bruch{x}{x+x^{3}} dx}
[/mm]
Und das wird dann durch kürzen zu
[mm] i*\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} dx}
[/mm]
das ist jetzt so richtig ja?
War jetzt grad kurz mal sehr irritiert...
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Hallo lexjou,
> Also jetzt nochmal kurz zusammengefasst, damit ich nicht
> durcheinander komme...
>
> Bis zu dem hier ist alles klar:
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> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1+ix}{x+x^{3}} dx}[/mm]
>
> Dann die Aufteilung in Re:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x+x^{3}} dx}[/mm]
>
> Und Img... was bei mir aber auf das hier führt...:
>
> [mm]i*\integral_{}^{}{\bruch{x}{x+x^{3}} dx}[/mm]
>
> Und das wird dann durch kürzen zu
>
> [mm]i*\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^{2}} dx}[/mm]
>
> das ist jetzt so richtig ja?
Ja, das ist so richtig.
>
> War jetzt grad kurz mal sehr irritiert...
Gruss
MathePower
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