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komplizierte Integration: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:49 Sa 23.04.2005
Autor: Maiko

Hallo!

Ich habe bis jetzt an einer Aufgabe gesessen, für welche ich aber leider nicht die korrekte Lösung herausbekomme.

Ich habe mein Aufgeschriebenes mal eingescannt und online gestellt.
Vielleicht könnte ja jmd. mal schauen, wo der Fehler liegt??!

Ich hoffe, ihr könnt meine Schrift lesen und meine Gedankengänge nachvollziehen.

Hier die Links:
[]Blatt 1
[]Blatt 2
Die Lösung für die Aufgabe lautet:

[mm] \bruch{1}{6}*ln\bruch{(t-1)^{2}}{t^{2}+t+1}-\bruch{1}{\wurzel{3}}*arctan(\bruch{2t+1}{\wurzel{3}})-\bruch{1}{3}*\bruch{1}{t-1}+\bruch{t-1}{3(t^{2}+t+1)} [/mm]


Hier ist noch meine Bezugsquelle für die Grundintegrale der Partialbruchzerlegung:
[]Grundintegrale


Ich hoffe auf eure Hilfe!
Grüße


        
Bezug
komplizierte Integration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:49 Sa 23.04.2005
Autor: Paulus

Hallo Maiko

Du bist ganz nahe dran! Nur beim Zusannenfassen des Ergebnisses hast du Schusselfehler begangen.

Du hast ja zu addieren:

I) [mm] $\bruch{1}{3}\ln|x-1|$ [/mm]

II) [mm] $-\bruch{1}{3(x-1)}$ [/mm]

III) [mm] $-\bruch{1}{6}\ln(x^2+x+1)-\bruch{5}{3\wurzel{3}}\arctan\bruch{2x+1}{\wurzel{3}}$ [/mm]

Hier habe ich dein [mm] $\bruch{-2+1/3}{\wurzel{3}}$ [/mm] gerade zu [mm] $-\bruch{5}{3\wurzel{3}}$ [/mm] berechnet.

Edit: Tippfehler im Nenner des 1. Bruches korrigiert. Loddar


Du darfst auch beachten, dass die Betragsstriche beim Logarithmus weggelassen dürfen (insofern ist deine Bezugsquellen nicht ganz genau). [mm] $x^2+x+1$ [/mm] ist ja überall grösser null. Aber schaden tun die Betragsstriche nichts! ;-)

IV) [mm] $-\bruch{1}{2(x^2+x+1)}+\bruch{1}{6}\bruch{2x+1}{x^2+x+1}+\bruch{2}{3\wurzel{3}}\arctan\bruch{2x+1}{\wurzel{3}}$ [/mm]

Auch hier habe ich den (mittleren) Bruch etwas zusammengefasst. Dort hast du auch einen groben Schnitzer drin: beim allerletzten Bruch auf dem 2. Blatt kommt bei dir plötzlich ein 3/2 hinein, statt ein 1/2.


So, hier noch ein grober Schnitzer:

Beim Zusammenfassen der Logarithmen haben wir doch:

[mm] $\bruch{1}{3}\ln|x-1|-\bruch{1}{6}\ln(x^2+x+1)=$ [/mm]

[mm] $\bruch{2}{6}\ln|x-1|-\bruch{1}{6}\ln(x^2+x+1)=$ [/mm]

[mm] $\bruch{1}{6}(2\ln|x-1|-\ln(x^2+x+1))=$ [/mm]

[mm] $\bruch{1}{6}(\ln(x-1)^2-\ln(x^2+x+1))=$ [/mm] Betragsstriche nicht mehr nötig!)

[mm] $\bruch{1}{6}\ln\bruch{(x-1)^2}{x^2+x+1}$ [/mm]

Beachte auch, dass jeweils [mm] $\wurzel{3}$ [/mm] unter dem Bruchstrich zu stehen hat. Das ist zum Schluss bei deinem Ergebnis nicht ganz klar!

Dann kannst du die Musterlösung auch noch verbessern: es sollte noch eine Konstante hinzuaddiert werden! :-)

Alles klar?

Mit lieben Grüssen

Paul
Bezug
                
Bezug
komplizierte Integration: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:40 Sa 23.04.2005
Autor: Maiko

Hallo Paulus.

Ersteinmal vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Schön, dass du auf meinen Zetteln durchgesehen hast :-)

Ich hätte aber noch ein paar kleine Fragen:

Den Fehler beim Zusammenfassen der Logarithmen hab ich behoben. Das hab ich natürlich gleich eingesehen.

Die Konstanten vor dem arctan hast du ja ein bisschen umgeschrieben.
Eigentlich müsste doch aber die Variante auf dem Blatt 2 auch korrekt sein, da sie ja qualitativ von der Lösung nicht abweicht oder.

Wenn ich [mm] arctan(\bruch{2x+1}{\wurzel{3}}) [/mm] ausklammere, hab ich ja [mm] \bruch{-2+1/3}{\wurzel{3}} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3*\wurzel{3}} [/mm]
Zusammengefasst ist das meine Lösung auf Blatt 2

[mm] \bruch{-1}{3*\wurzel{3}} [/mm]

Sehe ich das richtig?

So, und nun noch zum letzten Fehler. Ich hab ja zum Schluss eine 3/2 im Zähler stehen.
Das kommt bei mir vom zusammenfassen:

-1/2 * [mm] \bruch{1}{x^2+x+1} [/mm] + 1/3 * [mm] \bruch{x+1/2}{x^2+x+1} [/mm] =

-1/6 * [mm] \bruch{x+3/2}{x^2+x+1} [/mm]

Bitte korrigiere mich, wenn ich falsch liege. Ich hoffe, ich habe keine elementaren Fehler begangen.

Auf Hilfe wartend,
Grüße, Maik

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komplizierte Integration: Korrektur(en)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:01 Sa 23.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Maiko!


Ich werde mal für Paulus einspringen hier ...


> Eigentlich müsste doch aber die Variante auf dem Blatt 2
> auch korrekt sein, da sie ja qualitativ von der Lösung
> nicht abweicht oder.
>  
> Wenn ich [mm]arctan(\bruch{2x+1}{\wurzel{3}})[/mm] ausklammere, hab
> ich ja [mm]\bruch{-2+1/3}{\wurzel{3}}[/mm] + [mm]\bruch{2}{3*\wurzel{3}}[/mm]
>  Zusammengefasst ist das meine Lösung auf Blatt 2
>  
> [mm]\bruch{-1}{3*\wurzel{3}}[/mm]
>  
> Sehe ich das richtig?

[ok] Das stimmt so ... (ich habe hier Paulus' kleinen Tippfehler oben korrigiert, er hatte in dem einen Nenner die Wurzel vergessen).


  
> So, und nun noch zum letzten Fehler. Ich hab ja zum Schluss
> eine 3/2 im Zähler stehen.
> Das kommt bei mir vom zusammenfassen:
>  
> -1/2 * [mm]\bruch{1}{x^2+x+1}[/mm] + 1/3 * [mm]\bruch{x+1/2}{x^2+x+1}[/mm] = -1/6 * [mm]\bruch{x+3/2}{x^2+x+1}[/mm]

[notok]

[mm]\bruch{-1}{2*\left(x^2+x+1\right)} + \bruch{x+1/2}{3*\left(x^2+x+1\right)}[/mm]

[mm]= \ \bruch{-1*3}{6*\left(x^2+x+1\right)} + \bruch{\left(x+1/2\right)*2}{6*\left(x^2+x+1\right)}[/mm]

[mm]= \ \bruch{-3}{6*\left(x^2+x+1\right)} + \bruch{2x+1}{6*\left(x^2+x+1\right)}[/mm]

[mm]= \ \bruch{-3 + 2x+1}{6*\left(x^2+x+1\right)}[/mm]

[mm]= \ \bruch{2x-2}{6*\left(x^2+x+1\right)}[/mm]

[mm]= \ \bruch{2*(x-1)}{6*\left(x^2+x+1\right)}[/mm]

[mm]= \ \bruch{x-1}{3*\left(x^2+x+1\right)}[/mm]


Und ... [lichtaufgegangen] ??


Gruß
Loddar

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komplizierte Integration: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 Sa 23.04.2005
Autor: Maiko

Danke Loddar.

Die beiden Probleme haben wir jetzt behoben, aber leider scheint immer noch etwas nicht zu stimmen:
Ich habe jetzt raus:

[mm] \bruch{1}{6}*ln(\bruch{(x-1)^2}{x^2+x+1}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3(x-1)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}*\wurzel{3}*arctan(\bruch{2x+1}{\wurzel{3}})-\bruch{2x-2}{6(x^2+x+1)} [/mm]

Siehst du, wo der Fehler liegt?
Zumindest bekomme ich nicht diesselben y-Werte raus, wenn ich verschiedene x-e in die Original- bzw. in meine Lösung einsetze!

Bitte um Antwort!
Grüße
Bezug
        
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komplizierte Integration: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Sa 23.04.2005
Autor: Maiko

Uuups. Sorry, ich hab nicht überlegt!

Habe den Fehler gefunden :-)

Vor dem letzten Term gehört natürlich ein + und kein - .
Ist ja ganz leicht zu sehen, wenn man Originallösung und meine Lösung vergleicht :-)

Nur mal eine Frage:

Ist das eigentlich höhere Mathematik hier oder ist das immer noch ziemlich trivial??
Ich hab für die Bearbeitung dieser Aufgabe nämlich ne ganze Weile gebraucht.
Ist da nach oben noch viel viel Platz?

Das wäre ja echt ein bisschen niederschlagend.
Bezug
                
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komplizierte Integration: Üben, üben, üben ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Sa 23.04.2005
Autor: Loddar

Hallo Maik!


> Ist das eigentlich höhere Mathematik hier oder ist das
> immer noch ziemlich trivial??
> Ich hab für die Bearbeitung dieser Aufgabe nämlich ne
> ganze Weile gebraucht.
> Ist da nach oben noch viel viel Platz?
>  
> Das wäre ja echt ein bisschen niederschlagend.

Ohne Dich jetzt "niederschlagen(d machen)" zu wollen ...

Aber als "höhere Mathematik" würde ich das nicht einstufen. Wie in dem anderem Thread angedeutet:

Übung macht den Meister



Bei dieser Aufgabe war es ja eine Kombination mehrerer Integrations-Verfahren / -Methoden und damit eher eine Konzentrationssache.

Mit der Zeit und etwas Training wirst Du solche Aufgaben auch fixer lösen können (es ist wie beim Sport) ...


Gruß
Loddar

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komplizierte Integration: neugierig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:01 Sa 23.04.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo Maiko,
Du studierst in Dresden? Was denn ?
Bei wem habt ihr Mathe( falls Du nicht Mathestudent bist)?
gruß
mathemaduenn

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komplizierte Integration: Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:15 Sa 23.04.2005
Autor: Maiko

Hey.

Ich studiere E-Technik. Hab aber gerad erst angefangen, deswegen auch das viele Mathe-Lernen.

Hab bei Prof.Ludwig Mathe und bei Köcher Seminare.

Und du? Sehe ich das richtig, dass du Mathe-Student bist?
Darf ich fragen, warum du neugierig bist? ;-)

Grüße
Bezug
                                
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komplizierte Integration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:29 Sa 23.04.2005
Autor: mathemaduenn

Hallo
> Hab bei Prof.Ludwig Mathe und bei Köcher Seminare.

Bei denen hat ich nie.
> Und du? Sehe ich das richtig, dass du Mathe-Student bist?

Ja. zufällig mit ET als Nebenfach. (bei Schwarz oder gibt's den jetzt nicht mehr)
>  Darf ich fragen, warum du neugierig bist? ;-)

Ja. :-)
Nur so weil ich eben auch in Dresden studieren.
viele Grüße
mathemaduenn
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komplizierte Integration: DD
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:12 Sa 23.04.2005
Autor: Maiko

Doch, Schwarz gibts noch!
Den wirds auch noch ne Weile geben ;-)
Bei ihm hab ich auch Vorlesung.

Du scheinst ja eher jmd. zu sein, der hier viele Fragen beantwortet.
Ich komm von der anderen Seite :-)

Ist sehr praktisch und gut, wenn einem hier geholfen werden kann.
Geht ja meistens auch schnell...
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