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Forum "Folgen und Reihen" - komplizierter Konvergenzbeweis
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komplizierter Konvergenzbeweis: Allgemeiner Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:04 Do 09.01.2014
Autor: rosapanther

Aufgabe
Sei [mm] a_{n} [/mm] eine monoton fallende Nullfolge, zeigen sie, dass [mm] \sum_{n\ge0}^{\infty} a_{n}*z^{n} [/mm] für jedes z mit |z|=1 und [mm] z\not= [/mm] 1  konvergiert
hinweis:abschätzen mit Hilfe von
[mm] (1-z)*\sum_{n=0}^{N} a_{n}*z^{n} [/mm]


Hey :-)
ich hänge jetzt schon über Stunden an einem Beweis den wir in der Vorlesung grob vorgezeichnet haben (Aufgabe siehe oben)
1. frage: Wie kommt man darauf ausgerechnet diese Form zum abschätzen zu verwenden? bzw. (1-z) vorzustellen?

Ansatz:
ausmultiplizieren:
[mm] (1-z)*\sum_{n=0}^{N}a_n*z^{n}=\sum_{n=0}^{N}(a_n*z^n)-\sum_{n=0}^{N}(a_n*z^{n+1}) [/mm]
wie kann man hier weiterausmultiplizieren bzw. die Summen zusammenfassen? hier stehe ich leider völlig am Schlauch..

und wie kann ich dann weiter fortfahren?

LG




        
Bezug
komplizierter Konvergenzbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:58 Fr 10.01.2014
Autor: rainerS

Hallo!

> Sei [mm]a_{n}[/mm] eine monoton fallende Nullfolge, zeigen sie, dass
> [mm]\sum_{n\ge0}^{\infty} a_{n}*z^{n}[/mm] für jedes z mit |z|=1
> und [mm]z\not=[/mm] 1  konvergiert
> hinweis:abschätzen mit Hilfe von
> [mm](1-z)*\sum_{n=0}^{N} a_{n}*z^{n}[/mm]
>  
> Hey :-)
>  ich hänge jetzt schon über Stunden an einem Beweis den
> wir in der Vorlesung grob vorgezeichnet haben (Aufgabe
> siehe oben)
>  1. frage: Wie kommt man darauf ausgerechnet diese Form zum
> abschätzen zu verwenden? bzw. (1-z) vorzustellen?

Das erfordert einige Übung. Ohne den Hinweis wäre ich auch nicht draufgekommen.

> Ansatz:
>  ausmultiplizieren:
>  
> [mm](1-z)*\sum_{n=0}^{N}a_n*z^{n}=\sum_{n=0}^{N}(a_n*z^n)-\sum_{n=0}^{N}(a_n*z^{n+1})[/mm]
>  wie kann man hier weiterausmultiplizieren bzw. die Summen
> zusammenfassen? hier stehe ich leider völlig am
> Schlauch..

Tipp: [mm] $\summe_{n=0}^{N}a_n*z^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{N+1}a_{n-1}*z^{n}$ [/mm] verwenden und wieder zusammenfassen.

  Grüße
    Rainer

Bezug
                
Bezug
komplizierter Konvergenzbeweis: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:06 Fr 10.01.2014
Autor: rosapanther

okay danke :-)
wie kann ich an dieser Stelle also dann 2 Summen subtrahieren die unterschiedliche Grenzen haben?

Bezug
                        
Bezug
komplizierter Konvergenzbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:35 Fr 10.01.2014
Autor: leduart

Hallo
schreib von der ersten Summe das erst, von der zwiten das letzte einzeln, dann hast du dieselben Grenzen.
gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
komplizierter Konvergenzbeweis: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:18 Sa 11.01.2014
Autor: rosapanther

Hey: meinst du:
[mm] a_{n} [/mm] * [mm] \sum_{n=1}^{N}a_{n}*z^{n} -a_{n}* z^{N+1} [/mm] *  [mm] \sum_{n=1}^{N}a_{n}*z^{n+1} [/mm]

stimmt das?


LG

Bezug
                                        
Bezug
komplizierter Konvergenzbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Sa 11.01.2014
Autor: leduart

Hallo
Nein!und das kannst du selbst sehen. [mm] a_n [/mm] kann man nicht ausklammern!
schreib mal Anfang und Ende der Summen mit Pünktchen und dann fass zusammen, das hier ist nur grausig und rumraten
Gruss leduart

Bezug
                                                
Bezug
komplizierter Konvergenzbeweis: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Sa 11.01.2014
Autor: rosapanther

okay danke.ich habe ein bisschen drüber nachgedacht und habe die beiden Summen zusammengefasst zu:
[mm] \sum_{n=0}^{N}z^{n}*a_{n}-\sum_{n=1}^{N+1}a_{n-1}*z^{n} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{N}(z^{n}-z^{n+1})*a_{n} [/mm]
stimmt das?
(ich komme auf dieses Ergebnis wegen:
[mm] \sum_{n=0}^{N}z^{n}*a_{n}= a_0*z^0+...+a_{N}*z^{N} [/mm]
und
[mm] \sum_{n=1}^{N+1}a_{n-1}*z^{n}= a_0*z^1+...+a_{N}*z^{N+1} [/mm]


Bezug
                                                        
Bezug
komplizierter Konvergenzbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Sa 11.01.2014
Autor: reverend

Hallo rosapanther,

> okay danke.ich habe ein bisschen drüber nachgedacht und
> habe die beiden Summen zusammengefasst zu:
>  [mm]\sum_{n=0}^{N}z^{n}*a_{n}-\sum_{n=1}^{N+1}a_{n-1}*z^{n}[/mm] =
> [mm]\sum_{n=0}^{N}(z^{n}-z^{n+1})*a_{n}[/mm]
> stimmt das?

Ja.

>  (ich komme auf dieses Ergebnis wegen:
>  [mm]\sum_{n=0}^{N}z^{n}*a_{n}= a_0*z^0+...+a_{N}*z^{N}[/mm]
>  und
>  [mm]\sum_{n=1}^{N+1}a_{n-1}*z^{n}= a_0*z^1+...+a_{N}*z^{N+1}[/mm]

Eine einfache Indexverschiebung in der zweiten Summe hätte es auch getan.

Grüße
reverend


Bezug
                                                                
Bezug
komplizierter Konvergenzbeweis: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Sa 11.01.2014
Autor: rosapanther

oh super! wie kann ich nun damit zeigen das die Potenzreihe für |z|=1 konvergiert und für z ungleich 1 nicht?
kann man diesen Ansatz verwenden?:
sei [mm] \epsilon [/mm] > 0 vorgegeben , dann gibt es ein N, sodass für alle [mm] n\ge [/mm] N gilt...
[mm] |\sum_{n=0}^{N}(z^{n}-z^{n+1})*a_{n} -0|\le |\sum_{n=0}^{N}(z^{n}-z^{n+1})|*|a_{n}|.....\le...\le....\le \epsilon [/mm]
wie kann man hier weiterumformen?

Grüße

Bezug
                                                                        
Bezug
komplizierter Konvergenzbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Sa 11.01.2014
Autor: leduart

Hallo
wieso soll die Reihe denn gegen 0 konverfieren?
Wann konvergiert denn eine Reihe?
Immer erst die Def. aufschreiben, bzw die Kriterien,für die Konvergenz einer Reihe!
Gruß leduart

Bezug
                                                                                
Bezug
komplizierter Konvergenzbeweis: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:38 So 12.01.2014
Autor: rosapanther

naja, dass die Reihe eine monotone Nullfolge ist, ist angegeben. und eine Reihe konvergiert, wenn es ein [mm] n\ge [/mm] N gibt mit ....<N  
da wo die Punkte sind muss noch eine Ungleichung hin die Epsilon enthält. Aber wie komme ich jetzt mit meinem Ansatz weiter? Bzw. ist der überhaupt sinnvoll

LG :-)

Bezug
                                                                                        
Bezug
komplizierter Konvergenzbeweis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 So 12.01.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

> naja, dass die Reihe eine monotone Nullfolge ist, ist
> angegeben.

Aha?! Dann hast du eine andere Aufgabenstellung vorliegen als diejenige, die du hier eingetippt hast.

Oben steht die Reihe [mm]\sum\limits_{n\ge 0}a_n\cdot{}z^n[/mm] und die Voraussetzung, dass die Folge [mm]\left(a_n\right)_{n\in\IN}[/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist ...

> und eine Reihe konvergiert, wenn es ein [mm]n\ge[/mm] N
> gibt mit ....<N

?? 

Aha, kannst du mal die Definition komplett und ohne Auslassung und eigene Deutungen einfach nur hinschreiben?!

> da wo die Punkte sind muss noch eine Ungleichung hin die
> Epsilon enthält. Aber wie komme ich jetzt mit meinem
> Ansatz weiter? Bzw. ist der überhaupt sinnvoll


>

> LG :-)

Gruß

schachuzipus

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