konv. einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:39 Mo 23.11.2009 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | Zeige, das die Reihe konvergiert:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{(\wurzel[n]{n}-1)(-n)^n}{(n+1)^n} [/mm] |
Hallo,
ich möchte die Konvergenz mit dem Leibniz-krit. zeigen.
i) [mm] \bruch{(\wurzel[n]{n}-1)n^n}{(n+1)^n} [/mm] konvergiert gegen 0 habe ich gezeigt.
ii) ist monoton fallend ist mein Problem: man muss zeigen, dass [mm] \bruch{(n+1)^{n+1}(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+1}n^n}*\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}-1}{\wurzel[n]{n}-1}<1
[/mm]
leider bekomme ich die Ungleichung nicht gezeigt. Vielleicht kann mir jemand zeigen, wie man hier geschickt abschätzen kann.
Vielen Dank im Vorraus!
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Hallo wee,
> [mm]\bruch{(n+1)^{\red{n+1}}(n+1)^{n+1}}{(n+2)^{n+1}n^n}*\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}-1}{\wurzel[n]{n}-1}<1[/mm]
>
> leider bekomme ich die Ungleichung nicht gezeigt.
Der rote Exponent müsste n heißen. Liegt es vielleicht daran?
> Vielen Dank im Vorraus!
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Mo 23.11.2009 | | Autor: | wee |
Das war tatsächlich ein Fehler, aber nicht mein Problem, ich habe schon immer mit [mm] (n+1)^n [/mm] gerechnet.
Das Problem reduziert sich auf die Gültigkeit der folgenden Ungleichung:
[mm] \wurzel[n+1]{n+1}-1<\wurzel[n]{n}-1.
[/mm]
Das bekomme ich aber nicht bewiesen :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:56 Mo 23.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ist doch :
$ [mm] \wurzel[n+1]{n+1}<\wurzel[n]{n}. [/mm] $ und damit
[mm] n+1
Gruss leduart
edit(durch reverend): Wurzelexponent eingefügt.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:02 Di 24.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo leduart,
> Hallo
> das ist doch :
> [mm]\wurzel[n+1]{n+1}<\wurzel[n]{n}.[/mm] und damit
> [mm]n+1
Da fehlte der klitzekleine Wurzelexponent...
> und das gilt spätesten ab n=4
> Gruss leduart
und dann gilt es nicht ab n=4, sondern nie!
edit: da habe ich mich geirrt. Die Ungleichung gilt für [mm] \blue{n\ge 3} [/mm]
Entschuldigung auch an leduart: der fehlende Wurzelexponent hatte keinen Einfluss auf die Richtigkeit Deines Einwurfs!
Vielleicht zeigst Du, wee, einmal, wieso Du Deine umfangreichere Abschätzung hierauf reduzieren willst oder kannst. Ich kann das gerade nicht nachvollziehen.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:07 Di 24.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo an beide
Danke reverend, du hast natürlich recht.
und sorry für den Fehler.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:23 Di 24.11.2009 | | Autor: | wee |
Tut mir leid, falls die Vermischung der Threads durch mich passierte.
Jedenfalls hat man ja
[mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=(\bruch{n+1}{n+2})^{n+1}\cdot{}(\bruch{n+1}{n})^n\cdot{}\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}-1}{\wurzel[n]{n}-1}=(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n+1}})^{n+1}*(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}-1}{\wurzel[n]{n}-1}
[/mm]
Meine Idee war nun, dass der erste Faktor gegen [mm] e^{-1} [/mm] und der zweite Faktor gegen e konvergiert, sich also für große n zu 1 kürzt.
Übrig bleibt dann noch [mm] \bruch{\wurzel[n+1]{n+1}-1}{\wurzel[n]{n}-1}.
[/mm]
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Hallo wee,
> Tut mir leid, falls die Vermischung der Threads durch mich
> passierte.
Schon gut. Wir sind ja wieder in der gewohnten Umgebung. 
> Jedenfalls hat man ja
>
>
> [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}=(\bruch{n+1}{n+2})^{n+1}\cdot{}(\bruch{n+1}{n})^n\cdot{}\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}-1}{\wurzel[n]{n}-1}=(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n+1}})^{n+1}*(1+\bruch{1}{n})^n*\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}-1}{\wurzel[n]{n}-1}[/mm]
>
>
> Meine Idee war nun, dass der erste Faktor gegen [mm]e^{-1}[/mm] und
> der zweite Faktor gegen e konvergiert, sich also für
> große n zu 1 kürzt.
Das ist zwar wahr, aber hier nicht geschickt!
> Übrig bleibt dann noch
> [mm]\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}-1}{\wurzel[n]{n}-1}.[/mm]
...denn dieser Bruch ist immer >1.
edit: Diese Aussage ist falsch! Für [mm] \blue{n\ge 3} [/mm] ist dieser Bruch tatsächlich immer <1.
Du darfst also vorher nicht kürzen, wenn Du zeigen willst, dass der ganze Term <1 ist.
edit: Ich denke, dass das trotzdem kein sauberer Weg ist!
Ich schau nachher nochmal, wie das geht, falls bis dahin niemand mehr Zeit hatte als ich gerade. :-(
lg
reverend
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Hallo wee,
nach einem längeren Gespräch mit Herrn Bernoulli in (meiner) Mittagspause hier ein Lösungsweg:
zu zeigen ist [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}=(\bruch{n+1}{n+2})^{n+1}\cdot{}(\bruch{n+1}{n})^n\cdot{}\bruch{\wurzel[n+1]{n+1}-1}{\wurzel[n]{n}-1}<1
[/mm]
Ich zeige zuerst, dass [mm] (\bruch{n+1}{n+2})^{n+1}\cdot{}(\bruch{n+1}{n})^n<1
[/mm]
[mm] \left(\bruch{n+1}{n+2}\right)^{n+1}*\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n=\bruch{n+1}{n+2}*\left(\bruch{(n+1)^2}{n(n+2)}\right)^n=\left(1-\bruch{1}{n+2}\right)*\left(\bruch{(n^2+2n+1)}{(n^2+2n)}\right)^n=\blue{\left(1-\bruch{1}{n+2}\right)}*\left(1+\bruch{1}{n(n+2)}\right)^n
[/mm]
Ich ersetze die blaue Klammer sozusagen durch Rückwärtsanwendung der ![[]](/images/popup.gif) Bernoulli-Ungleichung:
[mm] \left(1-\bruch{1}{n+2}\right) \le \left(1-\bruch{1}{n(n+2)}\right)^n
[/mm]
Es gilt daher [mm] \blue{\left(1-\bruch{1}{n+2}\right)}*\left(1+\bruch{1}{n(n+2)}\right)^n \le \blue{\left(1-\bruch{1}{n(n+2)}\right)^n}*\left(1+\bruch{1}{n(n+2)}\right)^n =\left(1-\bruch{1}{n^2(n+2)^2}\right)^n<1 [/mm]
Dies ist sicher <1.
Nun bleibt noch zu zeigen: [mm] \bruch{\wurzel[n+1]{n+1}-1}{\wurzel[n]{n}-1}<1 [/mm] bzw. [mm] \wurzel[n+1]{n+1}<\wurzel[n]{n}
[/mm]
Auch dies geht mit Bernoulli, aber ich bin gerade schreibfaul und meine Pause naht dem Ende.
Hier kannst Du nachlesen, wie es geht.
Ausdrücklich hinweisen möchte ich darauf, dass ich mich geirrt habe, was den ursprünglich von Dir angefragten Bruch angeht! Die Ungleichung [mm] \wurzel[n+1]{n+1}<\wurzel[n]{n} [/mm] gilt für [mm]n\ge{3}[/mm]. Entschuldigung.
Ich werde daher auch meine früheren Beiträge so editieren, dass die jeweils richtige Behauptung dasteht, damit jemand, der diese Diskussion später noch einmal wiederfindet, von Anfang an auf den richtigen Weg kommt und nicht durch meine Fehlbehauptung irritiert wird. Die alten Versionen bleiben ja dennoch einsehbar - wie auch dieser Hinweis.
Trotzdem meine ich, dass Du auch die ersten beiden Terme - wie oben gezeigt - sauber abschätzen musst und nicht einfach aus der Grenzwertbetrachtung lösen kannst!
Liebe Grüße
reverend
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