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Forum "Folgen und Reihen" - konv & gw einer reihe
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konv & gw einer reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Do 19.07.2007
Autor: Zerwas

Aufgabe
Untersuchen Sie die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^\infty(3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1}) [/mm]
auf Konvergenz. Geben Sie für den Fall, dass sie konvergiert den Grenzwert an.

Ich kann [mm] \summe_{n=1}^\infty(3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1}) [/mm] zerlegen in [mm] :\summe_{n=1}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n-1} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^\infty(\bruch{3}{4})^{n-1} [/mm] und damit konvergiert die Summe der Summen wenn beide Untersummen konvergieren:

[mm] Zuerst\summe_{n=1}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n-1}: [/mm]
Mit dem QK erhalte ich:
[mm] |\bruch{3(\bruch{1}{4})^{n-1}(\bruch{1}{4})}{3(\bruch{1}{4})^{n-1}}|=|\bruch{1}{4}|<1 [/mm]

[mm] Dann\summe_{n=1}^\infty(\bruch{3}{4})^{n-1}: [/mm]
Auch hier QK:
[mm] |\bruch{(\bruch{3}{4})^{n-1}*(\bruch{3}{4})}{(\bruch{3}{4})^{n-1}}|=|\bruch{3}{4}|<1 [/mm]

also konvergieren die beiden Teilreihen und damit auch die gesamte Reihe.

Jetzt zum Wert der Reihe:
ICh bekomme hier keine Partialbruchzerlegung hin um eine Teleskopsumme zu erhalten. Mache ich etwas falsch oder gibt es eine andere Möglichkeit den Wert zu erhalten in diesem Fall und ich sehe sie nur nicht?

Gruß Zerwas

        
Bezug
konv & gw einer reihe: geometrische Reihe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:52 Do 19.07.2007
Autor: Roadrunner

Hallo zerwas!


Du hast hier doch zwei []geometrische Reihen vorliegen, deren Grenzwert Du jeweils nach folgender Formel berechnen kannst:

[mm] $s_{\infty} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_0*q^k [/mm] \ = \ [mm] a_0*\bruch{1}{1-q}$ [/mm]    für    $|q| \ < \ 1$

[aufgemerkt] Aufpassen jedoch bei den Startwerten bzw. Indizes der jeweiligen Reihen.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
konv & gw einer reihe: Editiert: Umordnung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:06 Do 19.07.2007
Autor: angela.h.b.

Hier stand Unsinn.
Bezug
                
Bezug
konv & gw einer reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Do 19.07.2007
Autor: Zerwas

Autsch ...okay klar ...

Angefangen mit [mm] \summe_{n=1}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n-1}: [/mm]
Zuerst muss ich den Index verschieben und erhalte dann:
[mm] \summe_{n=1}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n} [/mm]

Dann ist [mm] \summe_{n=0}^\infty3(\bruch{1}{4})^{n} [/mm] = [mm] 3*\bruch{1}{1-\bruch{1}{4}} [/mm] = [mm] 3*\bruch{4}{3} [/mm] = 4

[mm] Dann\summe_{n=1}^\infty(\bruch{3}{4})^{n-1}: [/mm]
Auch hier den Index verschieben:
[mm] \summe_{n=1}^\infty(\bruch{3}{4})^{n-1} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^\infty(\bruch{3}{4})^{n} [/mm] = [mm] 1*\bruch{1}{1-\bruch{3}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{4}{1} [/mm] = 4

Und damit ist [mm] \summe_{n=1}^\infty(3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1})= [/mm] 4+4 = 8.

Korrekt so?

Gruß Zerwas

Bezug
                        
Bezug
konv & gw einer reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Do 19.07.2007
Autor: angela.h.b.


> Und damit ist
> [mm]\summe_{n=1}^\infty(3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1})=[/mm]
> 4+4 = 8.
>  
> Korrekt so?

Ja.

Gruß v. Angela

Bezug
                                
Bezug
konv & gw einer reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:47 Do 19.07.2007
Autor: Zerwas

okay stimmt ... habe den post erst jetzt gelesen.
Die absolute Konvergenz zu zeigen ist ja recht einfach wenn mein Gedankengang stimmt:

[mm] \summe_{n=1}^\infty|3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1}| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^\infty(3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1}) [/mm] ,da [mm] (3(\bruch{1}{4})^{n-1}+(\bruch{3}{4})^{n-1}) [/mm] > 0 [mm] \forall n\in\IN [/mm]

Also konvergiert die Reihe wenn sie konvergiert (was ja im vorherigen Post gezeig wurde) auch absolut.

Kann ich das so machen?

Gruß Zerwas

Bezug
                                        
Bezug
konv & gw einer reihe: Alles o.K.
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:17 Do 19.07.2007
Autor: angela.h.b.

Hallo,

vergiß alles, was ich gesagt habe. Ich hatte einen Doppelknoten im Gehirn.

Gruß v. Angela

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