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Hi Leute,
wer kann mir bei der Grenzwertbestimmung der folgenden Folge helfen:
[mm] a_{n} [/mm] = n (1 - (1- [mm] \bruch{1}{n})^{42}
[/mm]
ich komm da nicht weiter, der taschenrechner verrät aber, dass es 42 seien dürfte 
aber wie kommt man darauf?
danke,
peitsche84
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Hallo,
> wer kann mir bei der Grenzwertbestimmung der folgenden
> Folge helfen:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = n (1 - (1- [mm]\bruch{1}{n})^{42}[/mm]
also ich habe eine Idee, bin mir aber nicht ganz sicher, ob das so auch wirklich stimmt. Also mit Vorbehalt geniessen, bis einer der Profis hier sein OK gibt.
Wenn man den Grenzwert betrachtet
[mm]\lim_{n\to\infty} n(1-(1-\frac{1}{n})^{42})[/mm]
kann man das erst mal umschreiben als
[mm]\lim_{n\to\infty} \frac{1-(1-\frac{1}{n})^{42}}{n^{-1}}[/mm],
was den unbestimmten Ausdruck [mm]\frac{0}{0}[/mm] ergibt. Da eine Folge weiterhin ja im Prinzip eine Funktion
[mm]a : \IN \to \IR[/mm]
ist, kann man L'Hospital anwenden und erhaelt
[mm]\lim_{n\to\infty} \frac{-42(1-\frac{1}{n})^{41}\cdot\frac{1}{n^2}}{-\frac{1}{n^2}} =
\lim_{n\to\infty} 42(1-\frac{1}{n})^{41} = 42[/mm].
Michael
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