konvergente Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Di 26.10.2004 | | Autor: | Sabine_ |
Hallo,
vielleicht könnt ihr mir weiterhelfen!!!
Also:
Welche der Folgen ist konvergent?
an = n-te Wurzel von n hoch 2
bn = n-te Wurzel von n! ,
bitte mit Begründung! Ich habe noch nicht viel Ahnung von konvergenten Folgen!
Gruß Sabine_
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Sabine!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich werde mal versuchen Dir zu helfen, damit Du Dir selbst helfen kannst. Was eine Folge ist, ist Dir ja mittlerweile sicher bekannt: für jede natürliche Zahl ist eine reelle Zahl gegeben, z.B. ein [mm] $a_n$ [/mm] für jedes $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Nun interessiert man sich oft dafür, was diese Folgen tun, wenn man das $n$ immer weiter laufen läßt. Manche Folgen hauen einfach nach [mm] $\infty$ [/mm] ab, andere springen wie wild umher - und manche "konvergieren" oder "streben einem Grenzwert zu".
Die formale Definition schreckt erstmal ab - liest man das nach, so sieht man folgendes:
Eine Folge [mm] $a_n$ [/mm] reeller Zahlen heißt konvergent mit Grenzwert $a [mm] \in \IR$, [/mm] falls es zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ eine Zahl [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] gibt, so dass für alle $n [mm] \geq n_0$ [/mm] gilt: [mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Man schreibt dann auch: [mm] $\lim_{n \to \infty} a_n [/mm] = a$
Was will uns die Definition aber nun sagen? Dieses [mm] $\varepsilon$, [/mm] was da auftaucht ist gewissermaßen unsere "Fehlertoleranz". Im Wissen, dass man in der Realität ohnehin nicht beliebig genau messen kann, sind wir großzügig und lassen Fehler zu. Das heißt, damit wir das $a$ als Grenzwert anerkennen, verlangen wir nicht, dass die Folge irgendwann konstant gleich $a$ sein muß, sondern wir erlauben, dass sie ein Stück von dem $a$ abweichen darf.
Aber im Rahmen! Und formal bedeutet das: wenn ich mir eine (beliebig kleine) Toleranz [mm] $\varepsilon$ [/mm] vorgebe, dann wird sich meine Folge ab einem bestimmten Index um nicht mehr als diese Schranke von dem $a$ fortbewegen - das heißt, endlich viele Folgenglieder (bis zu dem [mm] $n_0$) [/mm] können machen, was sie wollen, aber ab [mm] $n_0$ [/mm] (und da kommen unendlich viele noch hinterher!) sollen gefälligst alle Folgenglieder "nahe bei $a$" sein und nahe bei heißt eben: höchstens [mm] $\varepsilon$ [/mm] entfernt.
Ein Beispiel: Sei [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] die Folge der sogenannten Stammbrüche. Diese Folge konvergiert gegen 0 und das, obwohl die 0 selbst nie angenommen wird. Die Brüche werden mit wachsendem $n$ zwar immer kleiner, aber erreichen die 0 nie.
Trotzdem konvergiert die Folge gegen 0 - denn wenn Du Dir jetzt eine ganz winzig kleine Toleranzgrenze [mm] $\varepsilon$ [/mm] ausdenkst (und sei es $e = [mm] \frac{1}{10000000000}$), [/mm] dann gibt es trotzdem ein [mm] $n_0$ [/mm] (nämlich hier [mm] $n_0 [/mm] = 10000000000$), so dass ab da die Folgenglieder näher al diese winzige Toleranzgrenze an der 0 liegen.
Vielleicht ein Beispiel, das näher an Deiner Aufgabe liegt: definiere Dir Deine Folge [mm] $a_n [/mm] := [mm] \sqrt[n]{n}$. [/mm] Ist diese Folge konvergent? Ich behaupte ja und zwar läuft die Folge gegen die Zahl 1. Wenn Du eine konkrete Folge gegeben hast, empfiehlt es sich, mal mit einem Taschenrechner bewaffnet einige Folgenglieder auszurechnen, erst am Anfang und dann mit immer größeren Werten für $n$, um vielleicht eine Idee zu erhalten, ob die Folge konvergieren könnte und wenn ja, wogegen. Und wenn Du diese Vermutung hast, kannst Du sie dann formal beweisen.
Dabei ist folgender Sachverhalt nützlich:
Eine Folge konvergiert, wenn sie
1) beschränkt
und
2) monoton ist.
Dabei heißt eine Folge beschränkt, wenn gilt: Man findet ein $C [mm] \in \IR$, [/mm] so dass [mm] $|a_n| \leq [/mm] C$ für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt. Das bedeutet anschaulich, dass diese Folge nicht gegen [mm] $\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] abhauen kann.
Und eine Folge heißt monoton wachsend (bzw. fallend), wenn für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $a_n \leq a_{n+1}$ [/mm] bzw. [mm] $a_n \geq a_{n+1}$
[/mm]
In dem Fall der Folge [mm] $\sqrt[n]{n}$ [/mm] (und ebenso bei [mm] $\sqrt[n]{n^2}$) [/mm] kann man beweisen, dass die Folge nach unten beschränkt ist (durch 0 z.B.) und fällt. Damit muß sie konvergieren.
Versuche es einfach mal! Die Folgen sind nicht allzu leicht, aber das bekommst Du schon hin! *Daumen drück*
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Mi 27.10.2004 | | Autor: | primeevil |
ich würde für [mm] \wurzel[n]{n} [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n^{\bruch{1}{n}} [/mm] schreiben
1/infty ist 0 also [mm] n^{0} [/mm] das 1
also konvergiert [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] gegen 1 qed
und mit [mm] \wurzel[n]{n^2} [/mm] genauso
ps ich hoffe das alles richtig angezeigt wird
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