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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Di 07.06.2005 | | Autor: | Becks |
Hallo zusammen :)
Ich habe mal wieder ein Problem mit ner Reihe.
Sei [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}b_{k} [/mm] eine alternierende Reihe mit Grenzwert s. Die Konvergenz einer solchen Reihe kann verbessert werden, indem man zu folgender Reihe übergeht:
(*) [mm] \bruch{b_{1}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\bruch{b_{k}-b_{k+1}}{2}
[/mm]
Nun soll ich zeigen, dass (*) auch gegen s konvergiert...? Aber wie?
Ich kenne doch nicht mal b. Ich weiß doch gar nicht was b für Werte hat? Ich weiß auch nicht, wie ich die Konvergenz überprüfen kann. Mich wirft dieses b komplett aus dem Konzept.
Und dann muss ich die Anzahl der Glieder der alternierenden harmonischen Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}/k [/mm] bzw. der zugehörigen Reihe (*) bestimmen, die aufsummiert werden müssen, damit man den Grenzwert auf drei Nachkommastellen erhält.
Da weiß ich auch nicht was ich da machen soll. Der Grenzwert ist doch s. den kenne ich aber wiederum nicht.
Könnt ihr mir da vielleicht helfen. Was hat es mit dem b auf sich? Ist das pos, neg oder kann es beides sein?
Viele Grüße
ein etwas ratloser Becks
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Hallo Becks,
damit das sind macht gilt wohl [mm] $b_k \ge [/mm] 0$
und nun schreib doch mal paar Summanden der neuen Formulierung
auf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Becks |
ok, habe jetzt mal ein paar Summanden ausgerechnet und komme bei der ersten Reihe auf
a) [mm] b_{1} [/mm] - [mm] b_{2} [/mm] + [mm] b_{3} [/mm] - [mm] b_{4} [/mm] + [mm] b_{5} [/mm] - [mm] b_{6} [/mm]
und bei der zweiten auf:
b) [mm] b_{1} [/mm] - [mm] b_{2} [/mm] + [mm] b_{3} [/mm] - [mm] b_{4} [/mm] + [mm] b_{5} [/mm] - [mm] b_{6} [/mm]
Es ist also gleich. Das heißt der Grenzwert muss auch gleich sein.
Kann ich dann argumentieren:
Da laut Aufgabenstellung die 1.Reihe den Grenzwert bei s hat, muss sie konvergieren. Da die zweite Reihe ebenfalls den Grenzwert s hat, muss diese auch konvergieren.?
Bei der b) bin ich mir noch unsicher. Soll ich nur die alternierende harmonische Reihe untersuchen? also [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{k+1}}{k}
[/mm]
Weil bei der (*) kenne ich ja das b nicht. da kann ich ja keine Kommazahlen auslesen.
Bei der alternierenden harmonischen habe ich 587 raus. *lol*
ich kann mir vorstellen, dass es nicht stimmt. Habe einfach am PC nen Programm geschrieben und mir das berechnen lassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Becks |
hmm, kann mir da jemand von euch helfen?
Habe noch rausbekommen, dass der Grenzwert ln2 ist. Aber viel hilft mir das jetzt auch nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:44 Mi 08.06.2005 | | Autor: | R4ph43l |
zu a) Konvergenz bedeutet ja eben Existenz eines Grenzwertes
zu b)
Du sollst doch laut Aufgabenstellung ermitteln, wieviele Glieder der Reihe du brauchst, um den Grenzwert - der wie du richtig herausbekommen hast ln2 ist - bis auf 3 Kommastellen genau angeben zu können.
ln2 = 0,693...
Und jetzt rechne doch mal solange Glieder der harmonischen Reihe und von (*) aus und summiere sie auf, bis als Wert eben das rauskommt. Tipp: Es spielt worauf darauf an, dass (*) schneller konvergiert ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Becks |
hmm, aber ich habe für beide Reihen das gleiche raus.
Ich habe ja
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}b_{k} [/mm] und
b) [mm] \bruch{b_{1}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\bruch{b_{k}b_{k+1}}{2}
[/mm]
bei a) habe ich [mm] b_{1}-b_{2}+b_{3}-b_{4}+b_{5}-b_{6}....
[/mm]
bei b) habe ich [mm] \bruch{b_{1}}{2}+\bruch{b_{1}}{2}-\bruch{b_{2}}{2}-\bruch{b_{2}}{2}+\bruch{b_{3}}{2}+\bruch{b_{3}}{2}-\bruch{b_{4}}{2}...
[/mm]
Also praktisch genau das gleiche. Warum konvergiert denn b schneller als a?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mi 08.06.2005 | | Autor: | R4ph43l |
> hmm, aber ich habe für beide Reihen das gleiche raus.
> Ich habe ja
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}b_{k}[/mm] und
> b) [mm]\bruch{b_{1}}{2}+\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1}\bruch{b_{k}b_{k+1}}{2}[/mm]
>
> bei a) habe ich [mm]b_{1}-b_{2}+b_{3}-b_{4}+b_{5}-b_{6}....[/mm]
>
> bei b) habe ich
> [mm]\bruch{b_{1}}{2}+\bruch{b_{1}}{2}-\bruch{b_{2}}{2}-\bruch{b_{2}}{2}+\bruch{b_{3}}{2}+\bruch{b_{3}}{2}-\bruch{b_{4}}{2}...[/mm]
>
> Also praktisch genau das gleiche. Warum konvergiert denn b
> schneller als a?
Du berechnest jetzt wieder die Werte für ein [mm] b_k, [/mm] aber es ging ja um die alternierende harmonische Reihe, in dem Fall wäre dann [mm] b_k [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}. [/mm] Setze das doch mal in deine b) Formel ein und vereinfache es so weit wie möglich. Dann berechnest du einige Reihenglieder und wirst merken dass du nur recht wenige berechnen musst, um schon sehr Nahe an den Grenzwert zu kommen (nach dem 4. Glied schon bei 0,688).
Dass am Ende bei beiden der selbe Grenzwert herauskommt ist ja klar, es geht auch nur um die Geschwindigkeit, mit dem du dich diesem sehr gut näherst.
Zur Veranschaulichung: Setz bei deinem [mm] b_k [/mm] Ansatz in b) dochmal die Klammern jeweils um die einzelnen Glieder, sprich
[mm]\bruch{b_{1}}{2}+(\bruch{b_{1}}{2}-\bruch{b_{2}}{2})-(\bruch{b_{2}}{2}+\bruch{b_{3}}{2})+(\bruch{b_{3}}{2}-\bruch{b_{4}}{2})...[/mm]
In diesem Fall hättest du jetzt 3 Glieder berechnet, im Falle a) schon mehr.
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