konvergente Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:22 Di 18.12.2012 | | Autor: | krueemel |
| Aufgabe | [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}}
[/mm]
Ist diese Reihe konvergent oder divergent? |
Hallo,
ich habe folgende Überlegungen dazu:
[mm] n^{2} [/mm] + 1 > [mm] n^{2}
[/mm]
[mm] \wurzel{n^{2} + 1} [/mm] > [mm] \wurzel{n^{2}}
[/mm]
[mm] \wurzel{n^{2} + 1} [/mm] > n
also folgt
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
somit ist es kleiner als die harmonische Reihe.
Ich kenn dies Verfahren so, dass wenn es kleiner ist als einer konvergente Reihe, dann ist die Reihe selbst auch konvergent (Majorantenkriterium).
Aber was ist, wenn die größere divergent ist, ist dann auch die kleinere divergent?
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}}[/mm]
>
> Ist diese Reihe konvergent oder divergent?
> Hallo,
>
Vorab: die Reihe divergiert.
> ich habe folgende Überlegungen dazu:
> [mm]n^{2}[/mm] + 1 > [mm]n^{2}[/mm]
> [mm]\wurzel{n^{2} + 1}[/mm] > [mm]\wurzel{n^{2}}[/mm]
> [mm]\wurzel{n^{2} + 1}[/mm] > n
>
> also folgt
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}}[/mm] < [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> somit ist es kleiner als die harmonische Reihe.
Ja, aber das hilft dir leider überhaupt nicht weiter.
>
> Ich kenn dies Verfahren so, dass wenn es kleiner ist als
> einer konvergente Reihe, dann ist die Reihe selbst auch
> konvergent (Majorantenkriterium).
> Aber was ist, wenn die größere divergent ist, ist dann
> auch die kleinere divergent?
Nein, andersherum wird ein Schuh draus. Wenn ab einem bestimmten N alle Reihenglieder einer divergenten Reihe kleiner sind als die einer betrachteten Reihe, dann ist diese ebenfalls divergent. Dies ist das Minorantenkriterium.
Zeige
[mm]\bruch{1}{2n}<\bruch{1}{\wurzel{n^2+1}}[/mm]
dann hast du eine divergente Minorante nachgewiesen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo krueemel,
Diophant hat ja schon alles Nötige zum Vergleichskriterium gesagt.
Du kannst alternativ auch zeigen, dass [mm] \bruch{1}{n+1}<\bruch{1}{\wurzel{n^2+1}} [/mm] ist. Auch das ist eine divergente Minorante und vielleicht einfacher zu zeigen.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Di 18.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Vorgehensweise:
1. [mm] a_n [/mm] verhält sich für große n etwa wie 1/n. Daher:
2. Vermutung: [mm] \sum a_n [/mm] divergiert.
3. Ansatz (für Minorantenkriterium): finde ein c>0 mit [mm] a_n \ge [/mm] c/n für fast alle n.
4.
$ [mm] a_{n} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} \ge [/mm] c/n $ [mm] \gdw n^2(1-c) \ge [/mm] c.
5. Erkenntnis: c=1/2 leistet das Gewünschte.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Di 18.12.2012 | | Autor: | krueemel |
> 4.
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} \ge c/n [/mm] [mm]\gdw n^2(1-c) \ge[/mm]
> c.
>
> 5. Erkenntnis: c=1/2 leistet das Gewünschte.
>
> FRED
das letzte versteh ich nicht. Aber folgendes müsste als Begründung reichen, oder?
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2n}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2\wurzel{n^2}}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo krueemel,
> > 4.
> > [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}} \ge c/n[/mm] [mm]\gdw n^2(1-c) \ge[/mm]
> > c.
> >
> > 5. Erkenntnis: c=1/2 leistet das Gewünschte.
> >
> > FRED
>
> das letzte versteh ich nicht. Aber folgendes müsste als
> Begründung reichen, oder?
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}}[/mm] > [mm]\bruch{1}{2n}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{n^{2}+1}}[/mm] > [mm]\bruch{1}{2\wurzel{n^2}}[/mm]
[mm]n^2+1
Damit auch [mm]\sqrt{n^2+1}<\sqrt{2n^2}[/mm]
Also [mm]\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}>\frac{1}{\sqrt{2n^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}n}[/mm]
Also [mm]\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{n^2+1}} \ > \ \frac{1}{\sqrt{2}}\sum\limits_{n\ge 1}\frac{1}{n}[/mm]
Damit hast du rechterhand eine divergente Minorante ...
Gruß
schachuzipus
>
|
|
|
|
