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konvergente Reihen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:33 Mo 21.11.2005
Autor: Franzie

Hallöchen!
ich soll folgende reihen auf konvergenz überprüfen:

a)  [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} 1/(1+1/n)^{n} [/mm] also ich bin ja der meinung, diese reihe ist nicht konvergent, weil das notwendige kriterium, nämlich falls  [mm] \summe_{n=1}^{ \infty} a_{n} [/mm] konvergent ist, so ist [mm] (a_{n}) [/mm] eine nullfolge. doch das ist hier nicht der fall.
lieg ich damit richtig?

b)  [mm] \summe_{n=2}^{ \infty} [/mm] ln [mm] n/(\wurzel{n}) [/mm] ich würde ja hier versuchen, das quotientenkriterium anzuwenden, also überprüfen, wie groß  | ( [mm] a_{n+1})/ a_{n} [/mm]    | ist. wenn ich jetzt darin einsetze, erhalte ich

  | ln (n+1)/ [mm] (\wurzel{n+1}) [/mm]   *  [mm] (\wurzel{n}) [/mm] / ln n  |  aber an dieser stelle weiß ich nicht genau, wie ich weitermachen soll, um zu sehen, ob das größer oder kleiner 1 ist. oder hab ich eventuell das falsche kriterium benutzt?

liebe grüße

        
Bezug
konvergente Reihen: zu Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:25 Di 22.11.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Franzie!


Deine Argumentation für Aufgabe a.) stimmt [ok]:

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e} [/mm] \ [mm] \red{\not= \ 0}$ $\Rightarrow$ $\summe_{n=0}^{\infty}a_n$ [/mm]  divergent!


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
konvergente Reihen: zu Aufgabe b.)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:01 Mi 23.11.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen Franzie!


Ich bin der Meinung, dass Du hier die Divergenz mit dem Minorantenkriterium zeigen musst.

Leider fällt mir gerade keine vernünftige Begründung ein, aber m.E. gilt:

[mm] $\bruch{\blue{\ln(n)}}{\wurzel{n}} [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \bruch{\blue{\bruch{1}{\wurzel{n}}}}{\wurzel{n}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm]


Aber wie gesagt: da fehlt mir gerade die Begründung ...
(ist so eine Bauchsache [mm] $\leftarrow$ [i]sieht nur auf dem Übungszettel etwas blöd aus als "Beweis"[/i] ;-) ). Gruß Loddar [/mm]

Bezug
        
Bezug
konvergente Reihen: Zusatz zu Loddar
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:32 Mi 23.11.2005
Autor: leduart

Hallo Franzie
lnn>1 für n>e also n>3.  [mm] 1/\wurzel{n}<1 [/mm] für n>1 daraus folgt
ln n> [mm] 1/\wurzel{n}. [/mm] Und damit ist für [mm] n\ge [/mm] 3 [mm] lnn/\wurzel{n}>1/n [/mm] und die Reihe divergent!
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
konvergente Reihen: Auaah!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:37 Mi 23.11.2005
Autor: Loddar

Hallo leduart!


Warum komme ich auf sowas nicht [kopfschuettel] ??

Ich schiebe das mal auf den fehlenden [kaffeetrinker] heute morgen ;-) .


Gruß
Loddar


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