konvergente Zahlenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:31 So 23.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert a R. Zeigen Sie, dass die durch
[mm] b_n [/mm] := [mm] \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n~a_k [/mm]
definierte Folge [mm] (b_n) [/mm] ebenfalls gegen a konvergiert. |
Ich hätte mir bei der Aufgabe vorgestellt, das [mm] a_k [/mm] ja n mal immer addiert wird. Wenn zum Beispiel n=5, dann würde es ja danach
[mm] \bruch{1}{5} [/mm] * [mm] \bruch{5*a_k}{1}
[/mm]
Und damit wäre das [mm] a_k, [/mm] aber wie beweist man das und ist das ein richtiger Gedanke?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Nein, das ist kein richtiger Gedanke. Du behandelst [mm] a_k [/mm] als feststehenden Wert, Parameter, Konstante. Das ist aber nicht wahr. In der Darstellung, die Du wählst, wird unmittelbar deutlich, dass es verschiedene [mm] a_k [/mm] gibt. Für n=5 würde Folgendes gelten:
[mm] b_n [/mm] := [mm] \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n~a_k \Rightarrow b_5=\bruch{1}{5}\sum_{k=1}^5~a_k=\bruch{1}{5}(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)
[/mm]
Das Kürzen kannst Du Dir also sparen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 23.11.2008 | | Autor: | Schloss |
aber wie könnte man denn dort noch weiterkommen, man bekommt ja das Summenzeichen nicht weg, da [mm] a_{k} [/mm] nicht gegeben ist?
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Wie wärs mit Konvergenzkriterien? Gibt es denn eins, das etwas über die Reihe aussagt, wenn nur die Folge bekannt ist?
Im übrigen würde ich nicht die [mm] a_k [/mm] aus der Summe heraus-, sondern das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] mit hineinnehmen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 So 23.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
Ich hatte noch keine Konvergenzfolgen. Was würde diese denn darüber aussagen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 So 23.11.2008 | | Autor: | reverend |
Inhaltlich warte ich gern leduarts Antwort ab, aber eine kurze Reaktion möchte ich doch vorher geben:
Wenn Du noch keine Konvergenzfolgen behandelt hast, kannst Du die Aufgabe nicht lösen. Entweder Du hast etwas nicht mitbekommen, oder die Aufgabe ist unpassend gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
natuerlich hast du konvergierende Folgen gehabt und weisst es gibt ein M so dass fuer alle k>M [mm] |a_k-a|< \varepsilon
[/mm]
jetzt teil deine Summe von 1 bis M und von M+1 bis n
der erste Teil ist endliche Zahl A also A/n . Den zweiten Teil kannst du abschaetzen durch ...?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 So 23.11.2008 | | Autor: | Thomas87 |
der zweite teil ist auch eine endliche zahl, da es ja nur n mal addiert wird. aber was meinst du mit abschätzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:41 So 23.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja auch der zweite Teil ist endlich, aber du hast ja das Ziel n gegen unendlich.
mit abschaetzen mein ich die Konv, von [mm] a_n [/mm] benutzen um zu zeigen, dass die Summe/n auch den GW a hat.
Gruss leduart
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