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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Edi1982 |
Hallo Leute, Ich habe hier als Übung ei Paar Aufgaben gekriegt und wäre für jede Erklärung oder Antwort dankbar.
1)
Mann Zeige:
a) [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k}=2^{n}
[/mm]
b [mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}\vektor{n \\ k}=0
[/mm]
Untersuche die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimme ggf.
den Grenzwert.
a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{\wurzel[n]{n}-1}
[/mm]
b) [mm] a_{n} [/mm] = (1+ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}})^{n}
[/mm]
c) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (1+\bruch{1}{n^{2}})^{n}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
Hinweis zu 1 a):
[mm] 2^{n} [/mm] = [mm] (1+1)^{n}
[/mm]
b) so aehnlich wie a)
Siehe Dir noch mal den Binomischen Lehrsatz an.
Hinweis zu 2)a u. b) :
[mm] \wurzel[n]{n} [/mm] = [mm] n^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
Das solltest Du jetzt eigentlich alles hinbekommen.
Gruß thing-fish
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:15 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Edi1982 |
Hi Leute diese Aufgaben sind sehr wichtig.
Könntet ihr mir die ganzen Aufgaben vielleicht richtig erklären.
Denn aus der ersten Antwort bin ich nicht schlauer geworden
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Edi1982,
zunächst lese dir mal bitte die Forenregeln gründlichst durch. Vor allem aber Punkt 2 und Punkt 6.
Du hast von thing-fish zur Aufgabe 1) den Hinweis bekommen:
[mm] $2^n=(1+1)^n$
[/mm]
Bei 1b) ergänze ich den Hinweis und sage:
[mm] $0^n=(1+(-1))^n$
[/mm]
Wenn du dir nicht die Mühe machst, nachzugucken, wie der Binomische Lehrsatz lautet, dann kannst du mit diesen Hinweisen natürlich nichts anfangen. Wenn du dir mal die Mühe machst, das nachzuschlagen, so wirst du feststellen, dass man Aufgabe 1) sehr schnell erledigt hat.
Du mußt schon zeigen, dass du auch etwas mitarbeitest. Wir sind keine Lösungsmaschine, sondern das Forum dient dazu, dir bei deinen Schwierigkeiten mit deinen Aufgaben zu helfen. Das setzt aber voraus, dass du mitarbeitest!!!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:17 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Edi1982,
bei 2a)
> a) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{\wurzel[n]{n}-1}
[/mm]
Denke mal daran, dass [mm] $\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{n}=1$ [/mm] gilt und versuche, diesen Sachverhalt irgendwie auszunutzen!
> b) [mm]a_{n}[/mm] = (1+ [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}})^{n}
[/mm]
Hier gilt ja:
[m]a_{n²}=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n^2}
=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n*n}
=\left(\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n\right)^n[/m]
Das ist eine Teilfolge, die unbeschränkt ist (hier steht irgendwo ein Ausdruck, der etwas mit der Zahl $e=2,7...$ zu tun hat. Wo?). Kann eine Folge dann noch in [mm] $\IR$ [/mm] konvergieren?
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marcel |
> a) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{\wurzel[n]{n}-1}
[/mm]
(Bemerkung: [mm] $a_n^n$ [/mm] und entsprechende Ausdrücke sind zu lesen als [m]\left(a_n\right)^n[/m].)
Es gilt:
[mm] $\wurzel[n]{n}=a_n^n+1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $n=(a_n^n+1)^n$
[/mm]
[mm] $\stackrel{bin.\;Lehrsatz}{\Rightarrow}$
[/mm]
[mm] $n\ge 1+\frac{n(n-1)}{2}a_n^{2n}+...$, [/mm] wobei alles nach dem letzten $+$ [mm] $\ge [/mm] 0$ ist. Damit erhältst du die Abschätzung:
[mm] $n\ge 1+\frac{n(n-1)}{2}a_n^{2n}$
[/mm]
Mit ein paar Umformungen gelangst du dann (für $n [mm] \ge [/mm] 2$) zu:
[mm] $\frac{2(n-1)}{n(n-1)}\ge a_n^{2n}$, [/mm] und damit zu:
[mm] $\wurzel{\frac{2}{n}}\ge a_n^n$
[/mm]
Damit erhältst du:
[m]1 \le a_n \le \left(\left(\frac{2}{n}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{n}}
=...=\left(\frac{\wurzel[n]{2}}{\wurzel[n]{n}}\right)^{\frac{1}{2}}\to 1[/m] $(n [mm] \to \infty)$, [/mm] also:
[mm] $a_n \to [/mm] 1$ $(n [mm] \to \infty)$.
[/mm]
PS: Diese Lösungsskizze ist von einem Kommilitonen, nicht von mir. 
> c) [mm]a_{n}[/mm] = [mm](1+\bruch{1}{n^{2}})^{n}
[/mm]
Hier gilt:
[m]\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^n=\left(\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}[/m]
Damit solltest du die Aufgabe lösen können.
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Do 18.11.2004 | | Autor: | Didi |
Ich schreib dir mal was zur 1 a. Mehr hab ich nämlich auch noch nicht. Hab aber auch eben erst angefangen  )
Benutz den Tip zur 1 a und schau mal ins Skript vom Freitag (Seite 18 Nr. 4). Dann solte die Aufgabe eigentlich kein Problem mehr sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Do 18.11.2004 | | Autor: | Didi |
Hi,
Mir hat sich eben eine Frage zum Tip zur 1b gestellt. Und zwar: Warum weiß ich, dass n nicht 0 ist? Denn wenn n=0, dann klappt das ja nicht.
Danke schon mal.
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Hallo Didi,
wenn n=0 ist klappt das nicht nur nicht dann stimmt die Aussage auch nicht. Wie hast Du [mm] 0^0 [/mm] definiert?
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Do 18.11.2004 | | Autor: | Didi |
Genau da ist mein Problem. Hatte überlegt, wie [mm] 0^0 [/mm] definiert ist. Hab es deshalb einfach mal in den Taschenrechner eingetippt, weil ich mir dachte, der weiß bestimmt Rat. Der hat mir dann Error angezeigt. Deshalb ging ich davon aus, dass [mm] 0^0 [/mm] nicht definiert ist und dachte, dass dann wohl das n aus irgendeinem Grund nicht 0 wird.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Do 18.11.2004 | | Autor: | thing-fish |
Hallo!
meine Dozentin in Ana. versicherte ,dass [mm] 0^0 [/mm] := 1
sei.Sie koenne es anhand vieler Lehrbuecher
belegen.
Gruß thing-fish
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:56 Do 18.11.2004 | | Autor: | Didi |
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Do 18.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo zusammen,
> Hallo!
> meine Dozentin in Ana. versicherte ,dass [mm]0^0[/mm] := 1
> sei.Sie koenne es anhand vieler Lehrbuecher
> belegen.
Ja, ich kenne diese Definition auch so. Eine mir bekannte Begründung wäre:
Wie setzt man die Funktion [mm] $f:\;(0,\infty) \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x):=x^x$ [/mm] an 0 (rechts-)stetig fort?
Wenn man das untersucht, erhält man, dass nur $f(0):=1$ geeignet ist.
Andererseits wurde mir vor ewiger Zeit mal von einem Übungsleiter mal (sinngemäß) gesagt:
"Man definiert sich [mm] $0^0$ [/mm] meistens so, wie man es gerade braucht. Aber generell ist [mm] $0^0:=1$ [/mm] geläufig."
Die Aufgabe 1b) stimmt aber dennoch für $n=0$ (mit der Definition [mm] $0^0:=1$):
[/mm]
Dann erhält man nämlich:
1.) [mm] $0^n=0^0=1$ [/mm] (für $n=0$)
2.) [m]\summe_{k=0}^n(-1)^k \vektor{n \\ k}=\summe_{k=0}^0(-1)^k \vektor{0 \\ k}=(-1)^0*\vektor{0 \\ 0}=1*1=1[/m] (für $n=0$).
(Beachte: [mm] $\vektor{n \\ n}=1$ $\forall [/mm] n [mm] \in \IN\cup\{0\}$, [/mm] wobei [m]\IN=\{1,2,3,4,5,...\}[/m];
also insbesondere:
[mm] $\vektor{0\\0}=1$.)
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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, falls ich für Verwirrtheit gesorgt haben sollte. In der Aufgabenstellung steht ja leider
