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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mi 05.09.2007 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | Prüfen Sie ob folgende Summen konvergieren, und begründen Sie Ihre Lösung:
[mm] a)\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}sin\bruch{n*\pi}{3}
[/mm]
[mm] b)\summe_{n=1}^{\infty} \bruch {\wurzel{n}}{\wurzel{n^{4}+4n^{2}-4}} [/mm] |
Hallo
Ich brauche erstmal einen Ansatz.
Konvergenzkriterien?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Zerlege bei Aufgabe a.) die Reihe in 3 Teilreihen mit $n \ = \ 3*k+1$ , $n \ = \ 3*k+2$ sowie $n \ = \ 3*k$ .
Welche Werte für [mm] $\sin\left(\bruch{n*\pi}{3}\right)$ [/mm] erhält man dann jeweils? Wende auf diese 3 Teilreihen dann jeweils das Leibniz-Kriterium an.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Prüfen Sie ob folgende Summen konvergieren, und begründen
> Sie Ihre Lösung:
>
> [mm]a)\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}sin\bruch{n*\pi}{3}[/mm]
>
> [mm]b)\summe_{n=1}^{\infty} \bruch {\wurzel{n}}{\wurzel{n^{4}+4n^{2}-4}}[/mm]
>
> Hallo
> Ich brauche erstmal einen Ansatz.
> Konvergenzkriterien?
Die brauchst Du hier auf jeden Fall.
Wie wäre es mal mit ein bißchen Vorarbeit? Welche Konvergenzkriterien kennst Du, welche hast Du ausprobiert, welche Informationen fehlen Dir, um ein bestimmtes anwenden zu können?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mi 05.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Bei der 2. Reihe würde ich auf jeden Fall im Nenner [mm] $\wurzel{n}$ [/mm] ausklammern und kürzen.
Anschließend riecht es doch eindeutig nach Majoranten- oder Minoranten-Kriterium ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:58 Mi 12.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Leider kann ich mit diesen Hilfen nichts anfangen. Ich brache leider den Wink mit dem Zaunpfahl.
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> Leider kann ich mit diesen Hilfen nichts anfangen. Ich
> brache leider den Wink mit dem Zaunpfahl.
>
Du kannst den Faktor [mm] $n^4$ [/mm] des Radikanden des Nenners ausklammern und dann einen Faktor [mm] $n^2$ [/mm] aus dieser Wurzel ziehen sowie gegen [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] des Zählers kürzen.
Ergibt: [mm] $\summe_{n=1}^\infty \bruch{1}{n^{3/2}\wurzel{1+\bruch{4}{n^2}-\bruch{4}{n^4}}}$.
[/mm]
Zudem konvergiert die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch{1}{n^{3/2}}$ [/mm] (bekanntlich). Für genügend grosses $n$ ist auch sicherlich der Faktor [mm] $\frac{1}{\wurzel{1+\bruch{4}{n^2}-\bruch{4}{n^4}}}$ [/mm] kleiner als, z.B. die Konstante $2$. Damit ist es möglich, Deine Reihe durch die konvergente Reihe [mm] $\summe_{n=1}^\infty\bruch{2}{n^{3/2}}$ [/mm] zu majorisieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:54 Mi 26.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Das ist einleuchtend. Danke. Kann ich das auch mit dem Konvergenzkriterium zeigen?
Weil bei Aufgabenteil a) geht das nicht so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Mi 26.09.2007 | | Autor: | cutter |
Hi
Somebody hat es doch bis zum Ende beantwortet.
Das Konvergenzkriterium ist in diesem Fall das Majorantenkriterium.
Falls du nicht mehr weisst wie es aussieht, dann schau mal bei Wikipedia nach.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:07 Mi 26.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Danke für deine Antwort. Ich glaube ich habe mich falsch ausgedrückt. Ich kann die ganze Sache nicht auf a) anwenden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Mi 26.09.2007 | | Autor: | statler |
Hi Anna!
> Danke für deine Antwort. Ich glaube ich habe mich falsch
> ausgedrückt. Ich kann die ganze Sache nicht auf a)
> anwenden.
Ich so auch nicht! Aber a) kann man vielleicht anders beikommen. Schreib dir doch mal die ersten 6 Summanden hin und überleg dir, wie es dann weitergeht. Wg. des Faktors 1/n könnte es eine Minorante geben und das Ding divergiert oder Loddars Vermutung bewahrheitet sich und Leibniz greift und hat Konvergenz zur Folge.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Mi 26.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Also der sinusterm geht ja trotz dem [mm] \bruch{n*\pi}{3} [/mm] zwischen 0 und 1 hin und her. Und der Faktor [mm] \bruch{1}{n} [/mm] lässt dann die sache gegen null laufen. oder nicht? Das sagt mir mein Bauch. Aber der täucht sich ja auch mal*lol*
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Mi 26.09.2007 | | Autor: | statler |
> Also der sinusterm geht ja trotz dem [mm]\bruch{n*\pi}{3}[/mm]
> zwischen 0 und 1 hin und her. Und der Faktor [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> lässt dann die sache gegen null laufen. oder nicht? Das
> sagt mir mein Bauch. Aber der täucht sich ja auch mal*lol*
Nee Anna, nicht zwischen 0 und 1, der Sinus-Term nimmt 3 verschiedene Werte an, was du merken würdest, wenn du mal ein paar Summanden hinschreibst.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:47 Mi 26.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Ja.Sry.
0
0.866
-08.866
Aber wenn n groß genug ist, läuft die sache gegen null. Aber einpaar Funktionswert sind größer Null ander kleiner Null. Aber alle gehen gegen Null.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Mi 26.09.2007 | | Autor: | anna_h |
Ja. Merci
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Mi 26.09.2007 | | Autor: | cutter |
Naja...die harmonische Reihe konvergiert auch auf den ersten Blick gegen Null, da 1/n immer kleiner wird....aber man kann eben zeigen, dass sie divergiert.
Also musst du dir schon noch etwas einfallen lassen um es zu beweisen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 Mi 26.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
guck dir nochmal loddars ersten post an, und dann das Leibnitzkriterium.
Dass die Summanden ne Nullfolge bilden ist nur notwendig, nicht hinreichend für Konvergenz!
Gruss leduart
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