konvergenz? < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo,
wie ist denn bei folgendem Integral vorzugehen, um beurteilen zu können ob es konvergiert?
[mm] \integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^{3}} dx}
[/mm]
komme hier nicht weiter!
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Berechne hier:
[mm] $$\integral_{2}^{\infty}{\bruch{1}{1+x^3} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{A\rightarrow\infty}\integral_{2}^{A}{\bruch{1}{1+x^3} \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi, schon mal danke für deinen schnellen Einsatz, aber mir fehlt gerade die Idee, den Ausdruck hinten zu integrieren, was ist zu substituieren oder muss sogar eine Universalsubstitution gemacht werden?
lg Surfer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Dann wäreer der zweite Teil, den man durch Polynomdivision erhält ein komplexer Teil da ich erhalte [mm] x_{2,3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \pm \bruch{\wurzel{-3}}{2} [/mm] ?
gibt es da nicht ne andere Methode irgendwie einen Grenzwert zu bestimmen oder so?
lg Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:27 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Da bist du schon einen Schritt zuweit gegangen. Du brauchst nicht unbedingt ins Komplexe hinein den Bruch zerlegen ...
Gruß
Loddar
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Hallo Surfer,
nur ergänzend:
es ist ja gar nicht nach dem Wert des Integrals gefragt, sondern nur nach der Konvergenz, also nur die Frage, ob es einen endlichen Wert hat oder gegen [mm] \infty [/mm] divergiert.
Schätze es doch gegen ein elementar zu berechnendes Integral ab, etwa so:
Es ist [mm] $1+x^3>x^3$, [/mm] also [mm] $\frac{1}{1+x^3}<\frac{1}{x^3}=x^{-3}$
[/mm]
Und [mm] $\int\limits_{2}^{\infty}{x^{-3} \ dx}$ [/mm] kannst du leicht berechnen ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Wenn ich das ja integriere habe ich [- [mm] \bruch{1}{x^{2}}] [/mm] von 2 bis [mm] \infty
[/mm]
also erhalte ich eingesetzt 0 + 1/4 = 1/4 oder ?
D.h. es konvergiert gegen 1/4 oder wie ist das jetzt zu verstehen?
lg und danke Surfer
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Hallo Surfer,
> Wenn ich das ja integriere habe ich [- [mm]\bruch{1}{x^{2}}][/mm]
> von 2 bis [mm]\infty[/mm]
Fast, da fehlt ein Faktor [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
>
> also erhalte ich eingesetzt 0 + 1/4 = 1/4 oder ?
Mit dem fehlenden Faktor konvergiert das gegen [mm] $\frac{1}{8}$
[/mm]
> D.h. es konvergiert gegen 1/4 oder wie ist das jetzt zu
> verstehen?
Nein, das bedeutet, dass dein (kleineres) Integral einen Wert $< [mm] \frac{1}{8}$ [/mm] hat
Damit hast du eine Abschätzung nach oben für dein Integral, es kann nicht größer werden als [mm] $\frac{1}{8}$
[/mm]
Streng genommen müsstest du es noch nach unten abschätzen, etwa durch [mm] $\int\limits_{2}^{\infty}{\frac{1}{1+x^3} \ dx} [/mm] \ > [mm] \int\limits_{2}^{\infty}{\frac{1}{2x^3} \ dx}$, [/mm] um sicher zu gehen, dass dein Integral nicht gegen [mm] -\infty [/mm] abhaut
>
> lg und danke Surfer
LG
schachuzipus
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Partialbruchzerlegung