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| Aufgabe | | untersuchen sie folgende folge auf konvergenz, und berechnen sie ggf. den grenzwert der folge: [mm] c_{n}= \vektor{n \\ k}*n^{-k} [/mm] mit festem k [mm] \in \IN [/mm] |
wie kann ich da am besten den grenzwert / konvergenz bestimmen? gibts da eine vorgehensweise?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo sepp-sepp!
Schreibe den Binomialkoeffizienten ausführlich hin und fasse zusammen.
Gruß
Loddar
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hab ich schon gemacht aber was will ich da großartig zusammenfassen?
[mm] \bruch{n!}{k!(n-k)!n^{k}}
[/mm]
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Hallo sepp-sepp,
Du könntest vielleicht besser [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] ausschreiben und mal schauen, ob das für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 1 geht.
lg
reverend
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dann bekäme ich das, wenn ich mich nicht verrechnet hab:
[mm] \bruch{n^{k}}{(n+1-k)(n+1)^{k-1}} [/mm] aber bringt mich das weiter? v.a. hab ich ja dann nicht den grenzwert der folge [mm] c_{n}, [/mm] sondern den dieses bruches!?
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> dann bekäme ich das, wenn ich mich nicht verrechnet hab:
> [mm]\bruch{n^{k}}{(n+1-k)(n+1)^{k-1}}[/mm] aber bringt mich das
> weiter? v.a. hab ich ja dann nicht den grenzwert der folge
> [mm]c_{n},[/mm] sondern den dieses bruches!?
Stimmt, den Grenzwert hast Du damit noch nicht, aber einen Nachweis für Konvergenz kannst Du führen. Wenn Du einen Kürzungsvorgang weniger ausführst, hast Du folgenden Bruch:
[mm]\bruch{n+1}{n-k+1}*\bruch{n^k}{(n+1)^k}[/mm], und der geht bei festem k für [mm] n\to\infty [/mm] sicher gegen 1. Die Folge ist also schonmal konvergent.
Für die Bestimmung des Grenzwertes brauchst Du nahezu einen Vergleich mit einer Dir schon bekannten Folge, die gegen e konvergiert.
Grüße
reverend
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