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Hallo,
ich habe Probleme bei den beiden Aufgaben:
1.Auf Kovergenz prüfen und ggf. Grenzwert bestimmen
[mm] a)\summe_{k=1}^{N} (-1)^{n} \wurzel[n]{ 1/(4n^{2} -3 ) }
[/mm]
Die Aufgabe kam bei 2. Hauptkiruterium für Reihen dran:
(1+(1/n) [mm] )^{n}=e
[/mm]
Wie kann ich das dort einsetzen????
b) [mm] \summe_{k=1}^{N} \bruch{n \wurzel{n^{4} + 1} - n^{2}}{ \wurzel{n^{2} + n} -n}
[/mm]
Mein Ansatz: Das ist ja oben wie n(a-b) und dann hab ich mit den 3.Binom erweitert.
oben kan dann [mm] n(a^{2}-b^{2}) [/mm] raus
-> [mm] \bruch{n (n^{4} + 1 - n^{4} ) }{ \wurzel{n^{2} + n} -n ) ( \wurzel{n^{4} +n } + n^{2} }
[/mm]
Dann hab ich mit der größten Nennerpotenz geteilt: hier [mm] \wurzel{n^{6} } [/mm] .
Im Zähler steht dann : [mm] n/\wurzel{n^{6} } [/mm] & das ist ja diskonv.
Somit ist alles diskonvergent.
Stimmt die Lösung??
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen würde.
Grüße Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Mi 25.05.2005 | | Autor: | baddi |
Hallo Peter, ich prbiers mal.
> 1.Auf Kovergenz prüfen und ggf. Grenzwert bestimmen
> [mm]a)\summe_{k=1}^{N} (-1)^{n} \wurzel[n]{ 1/(4n^{2} -3 ) }[/mm]
>
> Die Aufgabe kam bei 2. Hauptkiruterium für Reihen dran:
> (1+(1/n) [mm])^{n}=e[/mm]
> Wie kann ich das dort einsetzen????
Kann ich jetzt nicht sehen.
Sinnvoll könnte sein, Fallunterscheidung zu machen.
Also gerade n und ungerade n.
Denken wir erst mal an die geraden n.
Multiplilziert man zwei konvergente Reihen konvergiert diese doch wieder - oder?
Wie wäre es dies zu machen ?
Könnte man vielleicht so die Wurzel wegkriegen?
> [mm]\wurzel{n^{6} }[/mm] .
> Stimmt die Lösung??
Peter, mein Gefühl sagt mir ja, aber du hast sicher gemerkt, ich bin da nicht so kompetent.
Hast du denn kein Matheprogramm wie maple oder mathematica oder so... da kannst du das leicht überprüfen.
Ich bin leider nicht zu hause.
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Hallo,
danke für deinen Ansatz, aber die erste Aufgabe muss schon was mit den 2.Hauptkriterium zu tun haben
danke
Grüße Peter
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hallo,
hat keiner einen Ansatz?
Würde mich freuen 
Grüße Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Fr 27.05.2005 | | Autor: | terrier |
ich weis nicht was du mit 2.tem hauptkriterium meinst?aber eig muss man bei diesen konvergenzuntersuchungen immer das gleiche machen.
du kannst mit wurzelkriterium oder quotientetnkriterium auf absolute konvergenz untersuchen,wenn sie danach absolut konvergiert konvergiert sie.und dann grenzwert durch abschätzen nach mino- oder majorantenktiterium suchen.ichprobier mal kann aber nichts versprechen
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Hallo,
das mit dem wurzelkriterium & quotientetnkriterium haben wir auch behandelt.
Das Problem ist, dass ich nciht weiss , wie ich das dort anwenden soll.
Vor allem das mit den [mm] (-1)^{n} [/mm] verwirrt mich.
Danke für deine Unterstützung.
Grüße Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Sa 28.05.2005 | | Autor: | terrier |
ich weis jetzt immer noch nich was das 2. hauptkriterium ist.
aber zumindest kam ich bei deiner 2ten aufgabe auch auf divergenz der reihe.
das -1 sollte dich jedoch nich stören, da du bei wurzel und quotientenkriterium sowieso nur beträge betrachtest.
das reihe eins gegen e konvergiert konnte ich jedoch auch noch nich zeigen,hab nicht mal nen ansatz dafür gefunden,aber da fällt mir gerade das leibnitz-kriterium ein ..ich schau mal kurz nach.
also nach leibnitz kriterium brauchst du nur den betrag der reihe betrachten,dann müsste man nur noch wissen gegen welchen wert [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] konvergiert.dann müssteman gucken
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Hallo Peter,
Ich habe eine paar Lösungsideen für deine Aufgabe, bin mir aber nicht zu 100% sicher.
Zu a):
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \wurzel[n]{\frac{1}{4n^2-3}}$
[/mm]
Zuerst untersuche ich [mm] $\wurzel[n]{\frac{1}{4n^2-3}}$ [/mm] auf Konvergenz. Hierzu braucht man den bekannten Grenzwert [mm]\wurzel[n]{n} \rightarrow 1[/mm]
[mm]\wurzel[n]{\frac{1}{4n^2-3}}\rightarrow\wurzel[n]{\frac{1}{4n^2}}\rightarrow\wurzel{\frac{1}{4}}*\wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{n}\rightarrow1[/mm]
Da die Folge aber keine Nullfolge ist, kann die Reihe aber auch nicht konvergieren. (Für sehr große n würden sich zwei aufeinanderfolgende Folgeglieder immer um 2 unterscheiden)
Da die Reihe aber alternierend ist und die zugeordnete Folge konvergiert dürfte keine unbestimmte Divergenz vorliegen. (kann man aus Leibnizkriterium folgern)
Zu b) hab ich eine für mein Gefühl zu simple Lösung - müsste aber stimmen:
Die zur Reihe gehörende Folge [mm]\frac{n\wurzel{n^4+1}-n^2}{\wurzel{n^2+n}-n}[/mm] besitzt offenbar nur positive Folgeglieder.
Gleichzeitig divergiert sie aber auch:
[mm]\frac{n\wurzel{n^4+1}-n^2}{\wurzel{n^2+n}-n} \rightarrow \frac{n\wurzel{n^4}-n^2}{\wurzel{n^2}-n}\rightarrow \frac{"\infty"}{"0"}=\infty[/mm]
Somit kann aber die zugeordnete Reihe schon mal garnicht konvergieren! --> unbestimmte Divergenz!
Ich hoffe, dass dir das etwas weiterhilft.
Gruß Samuel
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Hallo,
danke. das hat mir geholfen.
Grüße Peter
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