konvergenz einer rek. folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a(1)=1
a(n+1)=(1+a(n)/5) ^{2}
KONVERGENZ? wenn ja ,welcher grenzwert |
ich habe herausgefunden ,dass a(n) [mm] \le [/mm] a(n+1) per induktion ,die folge also monoton wachsend ist.
jetzt muss ich nur noch zeigen ,dass a(n) eine obere schranke besitzt .
wie kann man eine solche schranke finden,das will mir einfach nicht einfallen ,bitte helft mir.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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du hast ja schon herausgefunden, dass [mm] a_{n} \le a_{n+1}= [/mm] (1+a(n)/5) ^{2} ist. Löse die Gleichung einfach nach [mm] a_{n} [/mm] auf. Dann hast du [mm] a_{n} \le [/mm] ... . Damit hast du dann gezeigt, dass die Folge beschränkt ist. Die Zahl auf der rechten Seite ist logischerweise eine Schranke von an
Ich hab meinerseits auch noch ne Frage: Wie hast du per Induktionsschritt bewiesen, dass die Folge monoton wachsend ist? Habe eine ähnliche Aufgabe: x1 = 1 und xn+1=(6+7xn)/7+2xn. Kriege den Induktionsschritt einfach ncht hin! Wie hast du das gemacht?
Muss den Zettel morgen um 3 Uhr abgeben, also wär super, wenn mir jemand schnell antowrten könnte...
Lg, Kathi
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hallo kathi,gute idee danke ,ich probiers aus
wegen deinem is:
du kannst von n+1 auf n+2 den induktionsschritt machen wie ich,wie das bei dir genau aussieht weiss ich nicht,denn an so einer aufgabe sitze ich lange,bis
ich was finde.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:29 Fr 01.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kathy!
Lautet Deine Folgenvorschrift [mm] $x_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{b+7*x_n}{7}+2*x_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6}{7}+3*x_n$ [/mm] ??
Dann geht das m.E. auch ohne Induktion , indem Du zeigst, dass [mm] $x_{n+1}-x_n [/mm] \ > \ 0$ :
[mm] $\bruch{6}{7}+3*x_n-x_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6}{7}+2*x_n [/mm] \ > \ 0$
Und diese Aussage ist erfüllt für alle [mm] $x_n [/mm] \ > \ [mm] -\bruch{3}{7}$ [/mm] bzw. damit selbstverständlich für alle positiven [mm] $x_n$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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