konvergenz laurentreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 So 14.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | IN welchem Gebiet konvergiert die Laurentreihe zur Funktion
f(z)= [mm] \bruch{1}{1+z^{2}} [/mm] mit Potenzen von z-i, die im Punkt z=1 die gegebene Funktion darstellt |
Hallo!
Hab das mit den Laurentreihen immer noch nicht ganz Verstanden.
Es ist ersichtlich, dass
[mm] z^{2}+1 [/mm] = (z-i)*(z+i)
und daher Polstellen bei Z= +/- i
ich soll die Reihe mit Potenzen von z-i darstellen,
nach Partialbruchzerlegung:
f(z) = [mm] \bruch{1}{2i}*\bruch{1}{z-i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2i}*\bruch{1}{z+i}
[/mm]
Ich weiss, dass eine Laurentreihe der Form [mm] \summe_{i=1}^{n}b_n* z^{n} [/mm] innen konvergiert und aussen divergiert
aber [mm] \summe_{i=1}^{n} b_n z^{-n} [/mm] außen konvergiert und innen divergiert.
nun liegt der Punkt z=1 auf dem Rand,
welche Laurentreihe muss ich denn nun darstellen?
vielen dank für die tips!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 So 14.02.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo muhmuh,
die Konvergenzbereiche werden vom Entwicklungspunkt der Funktion aus betrachtet, es sind kreisförmige Gebilde, mitunter auch Kreisringe, je nachdem, wieviele Singularitäten die Funktion aufweist.
Du sollst die Funktion um i herum entwickeln, diese Stelle ist gleichzeitig auch eine Singularität der Funktion, wie Du ausgerechnet hattest. Das ist aber nicht weiter schlimm, es heisst nur, dass in einem Kreis um den Punkt i herum die Funktion als Laurentreihe dargestellt werden kann. Der Radius dieses Konvergenzkreises geht vom Entwicklungspunkt aus bis zur nächstgelegenen Singularität, die liegt bei z = -i. Der Punkt z = 1 liegt also im Konvergenzkreis drin und Du kannst durch Einsetzen den Wert bestimmen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 So 14.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ok, dann brauche ich also potenzen von [mm] (z-i)^{n}
[/mm]
ich steh gerade nur auf dem schlauch,
und zwar
habe ich ja f(z) = [mm] \bruch{1}{2i}*\bruch{1}{z-i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2i}*\bruch{1} [/mm] {z-i+2i}
= [mm] \bruch{1}{2i}*\bruch{1}{z-i} [/mm] - [mm] \bruch{1}{\bruch{z-i}{2i}+1}=
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2i}*\bruch{1}{z-i} [/mm] - [mm] \summe_{i=1}^{n} (\bruch{z-i}{2i})^{n}
[/mm]
kann ich nun das [mm] \bruch{1}{2i}*\bruch{1}{z-i}
[/mm]
irgendwie in die Summe mit einbeziehen? weil das ist ja noch eine negative potenz...
wie finde ich nun die konvergenz heraus,
wenn ich z=1 setze?
danke für die hilfe,
lg
katja
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Hallo muhmuh,
> ok, dann brauche ich also potenzen von [mm](z-i)^{n}[/mm]
>
> ich steh gerade nur auf dem schlauch,
>
> und zwar
>
> habe ich ja f(z) = [mm]\bruch{1}{2i}*\bruch{1}{z-i}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{2i}*\bruch{1}[/mm] {z-i+2i}
> = [mm]\bruch{1}{2i}*\bruch{1}{z-i}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{\bruch{z-i}{2i}+1}=[/mm]
Damit Du das in eine geometrische Reihe entwickeln kannst,
musst Du das so schreiben:
[mm]\bruch{1}{\bruch{z-i}{2i}+1}=\bruch{1}{1-\left( -\ \bruch{z-i}{2i} \ \right)}[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2i}*\bruch{1}{z-i}[/mm] - [mm]\summe_{i=1}^{n} (\bruch{z-i}{2i})^{n}[/mm]
Demnach muß hier stehen:
[mm]\bruch{1}{2i}*\bruch{1}{z-i}[/mm] - [mm]\summe_{i=1}^{n} \red{\left(-1\right)^{n}}(\bruch{z-i}{2i})^{n}[/mm]
>
> kann ich nun das [mm]\bruch{1}{2i}*\bruch{1}{z-i}[/mm]
> irgendwie in die Summe mit einbeziehen? weil das ist ja
> noch eine negative potenz...
Sicher kannst Du das mit einbeziehen.
Das Problem wird umgegangen, wenn Du gleich
[mm]\bruch{1}{1+z^{2}}=\bruch{1}{z-i}*\bruch{1}{z+i}=\bruch{1}{z-i}*\bruch{1}{\left( \ \left(z-i)+2i \ \right)}[/mm]
betrachtest.
> wie finde ich nun die konvergenz heraus,
> wenn ich z=1 setze?
>
> danke für die hilfe,
>
> lg
> katja
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Fr 19.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
bin gerade daran mir nochmal das thema anzuschauen und da kam nochmal eine frage auf,
und zwar wenn ich das so schreibe:
[mm] \bruch{1}{1+z^{2}}=\bruch{1}{z-i}\cdot{}\bruch{1}{z+i}=\bruch{1}{z-i}\cdot{}\bruch{1}{((z-i)+2i } [/mm] = [mm] \bruch{1}{(z-i)*2i}* \summe_{i=1}^{n} \red{\left(-1\right)^{n}}(\bruch{z-i}{2i})^{n} [/mm]
ist es dann nicht ein problemfür die konvergenz, dass wenn ich den term mithineinnehme die reihe bei n=0 startet?
Falls es so geht, dann wäre doch die Antwort auf die Frage wo konvergiert die Reihe: Die Reihe Konvergiert innerhalb des Kreises mit dem Radius 2 ???
danke fürs drüberschauen
lg
muhmuh
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Hallo muhmuh,
> bin gerade daran mir nochmal das thema anzuschauen und da
> kam nochmal eine frage auf,
>
> und zwar wenn ich das so schreibe:
>
> [mm]\bruch{1}{1+z^{2}}=\bruch{1}{z-i}\cdot{}\bruch{1}{z+i}=\bruch{1}{z-i}\cdot{}\bruch{1}{((z-i)+2i }[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{(z-i)*2i}* \summe_{i=1}^{n} \red{\left(-1\right)^{n}}(\bruch{z-i}{2i})^{n}[/mm]
Die geometrische Reihe beginnt bei 0.
Demnach muss hierstehen:
[mm]\bruch{1}{1+z^{2}}=\bruch{1}{z-i}\cdot{}\bruch{1}{z+i}=\bruch{1}{z-i}\cdot{}\bruch{1}{((z-i)+2i }
= \bruch{1}{(z-i)*2i}* \summe_{n={\blue{0}}}^{\infty} \left(-1\right)^{n}(\bruch{z-i}{2i})^{n}[/mm]
>
> ist es dann nicht ein problemfür die konvergenz, dass wenn
> ich den term mithineinnehme die reihe bei n=0 startet?
>
> Falls es so geht, dann wäre doch die Antwort auf die Frage
> wo konvergiert die Reihe: Die Reihe Konvergiert innerhalb
> des Kreises mit dem Radius 2 ???
Genauer:
Die Reihe konvergiert innerhalb des Kreises um i mit Radius 2.
>
> danke fürs drüberschauen
>
> lg
>
>
> muhmuh
Gruss
MathePower
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