konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:27 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Für welche x konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{x^k}{1-x^k} [/mm] |
Hallo zusammen,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe behilflich sein?
Der x=1 muss ausgeschlossen werden, da der Nenner dann zu Null werden würde...
Über Ansätze wäre ich dankbar! Danke und Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Fr 21.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{x^k}{1-x^k}
[/mm]
Es muß nicht nur x= 1 ausgeschlossen werden sonder auch x = -1 !!
Der Fall x = 0 ist klar.
Sei |x|>1. Dann strebt [mm] a_k [/mm] gegen 1. Die Reihe ist also divergent.
Jetzt bemühst Du Dich um den Fall |x|<1
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
für |x|<1 gilt, dass die [mm] a_k [/mm] gegen 0 konvergieren...
Grüße
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> für |x|<1 gilt, dass die [mm]a_k[/mm] gegen 0 konvergieren...
Hallo,
das stimmt.
Und weiter? Schlüsse? Konsequenzen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also wir haben jetzt folgende Ergebnisse:
x wird bei 1 und -1 ausgeschlossen, also kann ich doch sagen das |x| [mm] \not=1 [/mm] sein muss oder? (Die -1 ist doch dann auch mit dem |Betrag| verwurstelt?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_k=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \mbox{konvergiert} \\ 1, & \mbox{für } |x|>1 \mbox{divergiert } \end{cases}
[/mm]
Die Aufgabe hieß, für welche x konvergiert die Reihe, also für alle [mm] |x|\not=1.
[/mm]
Bitte um Rückmeldung... Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Damit die Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}a_k$ [/mm] konvergiert, ist es ein notwendiges Kriterium, dass [mm] $a_k$ [/mm] ein Nullfolge ist.
Die Eigenschaft " [mm] $a_k [/mm] \ \ [mm] \text{ist Nullfolge}$ [/mm] " reicht jedoch noch nicht für die Reihenkonvergenz aus. Da müssen noch weiter Untersuchungen angestellt werden.
Also nun weiter z.B. mit Quotienten- oder Wurzelkriterium ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
ich habe jetzt nun das Quotientenkriterium angewandt.
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{x^{k+1}(1-x^k)}{(1-x^{k+1})x^k}|= \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{x(1-x^k)}{(1-x^{k+1})}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{x-x^{k+1}}{1-x^{k+1}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{x^k(\bruch{x}{x^k}-x)}{x^k(\bruch{1}{x^k}-x)}|<1
[/mm]
... Bitte um Rückmeldung!
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> Hallo,
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> ich habe jetzt nun das Quotientenkriterium angewandt.
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> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{x^{k+1}(1-x^k)}{(1-x^{k+1})x^k}|= \limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{x(1-x^k)}{(1-x^{k+1})}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{x-x^{k+1}}{1-x^{k+1}}|=\limes_{k\rightarrow\infty}|\bruch{x^k(\bruch{x}{x^k}-x)}{x^k(\bruch{1}{x^k}-x)}|<1[/mm]
>
> ... Bitte um Rückmeldung!
Hallo,
was ist denn nun eigentlich der grenzwert?
Daß der <1 ist, ist vorerst ja lediglich eine Behauptung.
Wie überzeugst Du mich, wenn ich das nicht sehe?
Wofür hast Du [mm] x^k [/mm] ausgeklammert?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
die [mm] x^k [/mm] kürzen sich heraus. Im Zähler [mm] \bruch{x}{x^k} [/mm] ist eine Nullfolge ebenso im Nenner [mm] \bruch{1}{x^k}. [/mm] Das gilt aber nur für [mm] |x|\not=1 [/mm] das eine Nullfolge vorliegt. |x|=1 muss ausgeschlossen werden, da der Gesamte Bruch (siehe letzter Post) zu Null werden würde. In dem Fall würde man ja auch durch Null teilen.
Weiter ziehe ich in beiden Fällen also im Nenner und Zähler einen Wert x ab. Wenn ich von der Nullfolge einen bestimmten "gleichen Wert" (hier x) abziehe und teile dann Zähler durch Nenner dann kommt ja wahrscheinlich wieder eine NF heraus. Daher <1.
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> Hallo,
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> die [mm]x^k[/mm] kürzen sich heraus. Im Zähler [mm]\bruch{x}{x^k}[/mm] ist
> eine Nullfolge ebenso im Nenner [mm]\bruch{1}{x^k}.[/mm]
Hallo,
ich dachte, Du behandelst gerade |x|<1.
Deine Folgen [mm] \bruch{x}{x^k} [/mm] und [mm] \bruch{1}{x^k} [/mm] gehen dann nämlich gegen unendlich, sofern x>0 ist, für negatives x ist's komplizierter.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:17 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
$$... \ = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{x*\left(1-x^k\right)}{1-x^{k+1}}\right|\ [/mm] = [mm] x*\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{1-x^k}{1-x^{k+1}}\right|$$
[/mm]
Hier kannst du schon die Bedingung $|x| \ < \ 1$ anwenden.
Was gilt dann für [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}x^k$ [/mm] bzw. [mm] $\limes_{k\rightarrow\infty}x^{k+1}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo Loddar,
für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x^k [/mm] =0 im Fall |x|<1
dasselbe für [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}x^{k+1}
[/mm]
Grüße
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> für [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}x^k[/mm] =0 im Fall |x|<1
> dasselbe für [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}x^{k+1}[/mm]
Genau.
Also?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:26 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
also konvergiert die Reihe für |x|<1...
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 So 23.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
muss ich jetzt noch den Fall für |x|>1 betrachten? Oder ist die Aufgabe nun so erledigt?
Danke und Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 So 23.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Den Fall $|x| \ > \ 1$ hatten wir doch schon ganz oben behandelt und ausgeschlossen (warum?).
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:20 So 23.11.2008 | | Autor: | Bodo0686 |
Hallo,
stimmt, aber ich übersehen!
Danke für eure Hilfe!
Warum? Für |x|>1 werden doch immer positive Partialsummen aufsummiert, sodass die Reihe gegen [mm] \infty [/mm] verschwindet...
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> Hallo,
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> stimmt, aber ich übersehen!
>
> Danke für eure Hilfe!
>
> Warum? Für |x|>1 werden doch immer positive Partialsummen
> aufsummiert, sodass die Reihe gegen [mm]\infty[/mm] verschwindet...
Hallo,
tut mir leid, ich kann Dir überhaupt nicht folgen. Was möchtest Du sagen?
Gruß v. Angela
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