konvergenz von folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | zeige, dass die Folge [mm] a_n= [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] konvergiert.
Anleitung:
Beweise,dass für alle Folgenglieder [mm] 1
Zeige, dass die Folge [mm] a_n [/mm] monoton wächst!
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So...ich komme mit der Aufgabenstellung nicht richtig klar. Laut den Punkten die es da darauf gibt, muss sie sehr umfangreich sein.
ich habe das wie folgt gemacht: um zu zeigen das gilt [mm] 1
[mm] a_1= [/mm] (1+ [mm] \bruch{1}{1})^1=1
[/mm]
a_10= (1+ [mm] \bruch{1}{10})^10= [/mm] 1,1^10 [mm] \approx [/mm] 2,59
a_100= (1+ [mm] \bruch{1}{100})^100= [/mm] 1,01^100 [mm] \approx [/mm] 2,704
je kleiner die Zahlen sind, desto mehr nähern sie sich der 0 an, um so größer die Zahlen werden, desto mehr nähern sie sich in Richtung 3 an.
So soll das allerdings nicht gezeigt werden in der Aufgabe, sondern mit dem Binomischen Lehrsatz und den Ungleichungen.
Der Binomische Lehrsatz lautet [mm] (x+y)^n [/mm] und ich denke mal die Ungleichungen die hier gewählt wurden kommen von diesem Ausdruck:
[mm] \vektor{n \\ k}= \bruch{n*(n-1)*...(n-k+1(}{1*2*...*k}= \bruch{n!}{(n-k)!*k!}
[/mm]
Mein Problem liegt nun aber darin, dass ich die konvergenz mit hilfe des Binomischen Lehrsatzes zeigen soll..Ich weiß aber nicht wie ich das machen soll und wie ich die Ungleichungen damit verbinden soll. Das habe ich glaub ich noch nicht verstanden.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:25 Di 17.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. mit Zahlen einsetzen, auch wenn es 100000000000 statt deiner 3 wären, kann man doch gar nichts beweisen.
Beispiel: alle ungeraden Zahlen sind Primzahlen: 3,5,7 stimmt, nehmen wir noch ein paar grössere 29, 31 stimmt auch , na ja 97 auch also sind alle ungeraden Zahlen Primzahlen?
erst mal würd ich den binomischen Lehrsatz für den Fall [mm] (1+1/n)^n [/mm] hinschreiben. Dann erst kannst du anfangen, mit den gegebenen Ungleichungen versuchen, die summe so zu verkleinern, dass man sieht, dass sie kleiner ist.
Wenn wir das hier einfach vormachen, ohne dass du vorher ne ganze Weile daran rumprobiert hast hilft dir das nix.
also versuchs ne Weile, schreib auf, wie weit du kommst , warum dir was nicht gelingt, und dann frag wieder.
Gruss leduart
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ich komme mit dem Ensetzen nicht klar. Was ich wo einsetzen soll ??
die 1 ist x und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ist y oder?
das ergibt eingesetzt dann [mm] (1+\bruch{1}{n})^n= \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} 1^{n-1} (\bruch{1}{n})^k [/mm]
[mm] \vektor{n \\ k}= [/mm] und hier die oben schon angegeben Formel ergibt dann die 2 Ungleichungen. aber wie es weiter gehen soll, da komme ich nicht drauf.
und die Ungleichungen, was hat es damit auf sich? Da steige ich irgendwie nicht dahinter!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Di 17.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast eigentlich nichts probiert!
1. du willst doch dass die Summe <3 zeigen.
also schreib erstmal das [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] in der Summe aus. dann verwende nacheinander die 2 Ungl. um die Summe zu vergrössern wenn du dann trotz vergr. untr 3 bleibst, bist du fertig.
Man muss wirklich lernen ein bissel rumzuprobieren.
Du hast davon nichts getan.
Selbst auf die Ungleichungen zu kommen wäre schwierig gewesen, aber die sind ja gegeben, also probiert man rum, wo und wie man sie anwenden kann. das kann, wenn man nicht so viel Erfahrung hat ne Weile dauern, . Aber man muss in der Zeit eben was probieren,"rumfummeln" mit dem was man hat; und nicht wie gebannt einfach nur auf die Formel starren. Nur dadurch lernst du auf die Dauer selbst. Auch wenns 10 Fehlversuche bis zum Erfolg sind.
Und nicht das Ziel aus den augen verlieren du willst Summe < irgendwas da stehen haben!
Gruss leduart
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Doch ich habe viel rumprobiert, aber wenn ich nicht genau weiß wie ich das >3 zeigen soll und >1 dann drehe ich mich im Kreis! k ist dann also z.B. die 3. Okay, das habe ich probiert und einegsetzt aber daraus ergibt sich nichts. das n steht noch da und was ist damit?
Sorry, wenn ich hier mit meinen Fragen Verzweiflung auslöse, aber könnte ich es, dann würde ich nicht fragen.
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> Doch ich habe viel rumprobiert, aber wenn ich nicht genau
> weiß wie ich das >3 zeigen soll und >1
> dann drehe ich mich
> im Kreis! k ist dann also z.B. die 3.
Hallo,
das ist Quatsch.
Wir haben
$ [mm] (1+\bruch{1}{n})^n= \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} 1^{n-k} (\bruch{1}{n})^k [/mm] $ = [mm] \summe_{k=1}^{n} \vektor{n \\ k} (\bruch{1}{n})^k [/mm] $
= ???
Du mußt Dich jetzt mal trauen, das weiter aufzudröseln - auf die Gefahr hin, daß Du 10 Seiten vergeblich schreibst und nicht zum Ergebnis kommst.
Jetzt schreib doch [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] mal aus, so wie es Dir leduart nahegelegt hat.
Vielleicht lohnt es sich, danach mal in die in der Aufgabe gegebenen Hinweise zu spähen - vielleicht auch nicht. Dann muß man sich was anderes ausdenken.
> Okay, das habe ich
> probiert und einegsetzt aber daraus ergibt sich nichts. das
> n steht noch da und was ist damit?
Statt Deiner Rechenstory poste in Zukunft lieber Deine Rechnung, damit man sieht, was läuft und was schiefläuft.
Gruß v. Angela
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ich komme nur dazu [mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n*(n-1)*...*(n-k+1)}{1*2*...*k)}= \bruch{n!}{(n-k)!*k!}
[/mm]
Ja und da sehe ich nun auch wo die 2 Ungleichungen her kommen...aber was ich nun weiter machen soll weiß ich einfach nicht. soll ich für n 3 einsetzen und 1? Ich verstehe das einfach nicht!!
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> ich komme nur dazu [mm]\vektor{n \\ k}= [...] = \bruch{n!}{(n-k)!*k!}[/mm]
Ja.
Und nun setz das doch mal beim binomischen Satz ein!
(Ich hatte vergessen, ausdrücklich diese Anweisung zu geben, aber so originell ist die Idee ja nicht...)
> Ja und da sehe ich nun auch wo die 2 Ungleichungen her
> kommen...aber was ich nun weiter machen soll weiß ich
> einfach nicht. soll ich für n 3 einsetzen und 1? Ich
> verstehe das einfach nicht!!
Laß doch jetzt mal die 1 und die 3 erstmal in Frieden.
Nirgends sollst Du die einsetzen, sondern das Fernziel ist, daß Du [mm] (1+\bruch{1}{n})^n [/mm] so geschickt nach oben und unten abschätzt, daß Du am Ende siehst, daß der Ausdruck für alle n zwischen 1 und 3 liegt.
Gruß v. Angela
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[mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{(n-k)!*k!}*(\bruch{1}{n})^k
[/mm]
= [mm] \bruch{n!*1^k}{(n-k)!*k!*n^k}
[/mm]
daraus ergeben sich die Ungleichungen: wobei ich da nicht wieß, wie man auf die [mm] 2^{k-1} [/mm] kommt..
Sorry, wenn man mir alles vorgeben muss. aber ich verstehe es noch immer nicht was ich mit den ungleichungen hier zeigen soll!!
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> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{(n-k)!*k!}*(\bruch{1}{n})^k[/mm]
>
> [mm] =\red{\summe_{k=0}^{n}}[/mm] [mm]\bruch{n!*1^k}{(n-k)!*k!*n^k}[/mm]
>
> daraus ergeben sich die Ungleichungen: wobei ich da nicht
> wieß, wie man auf die [mm]2^{k-1}[/mm] kommt..
Hallo,
formuliere bitte etwas deutlicher.
Willst Du wissen, wie man drauf kommt, daß k! > [mm] 2^{k-1} [/mm] ist?
Dann schreib k! doch mal aus. da wird's Dir auffallen.
Gruß v. Angela
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Was soll deutlicher formuliert werden? k! = 1*2*3*...*k und woher kommt die 2?
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> Was soll deutlicher formuliert werden?
Hallo,
Du schriebst: "daraus ergeben sich die Ungleichungen: wobei ich da nicht wieß, wie man auf die $ [mm] 2^{k-1} [/mm] $ kommt.. "
Man weiß nicht gut, über welche [mm] 2^{k-1} [/mm] Du redest.
Daher fragte ich: "Willst Du wissen, wie man drauf kommt, daß k! > $ [mm] 2^{k-1} [/mm] $ ist? "
Das meine ich mit deutlicher formulieren.
> k! = 1*2*3*...*k und
> woher kommt die 2?
Schätze das nun ab: k!=1*2* ...*k > ???
Gruß v. Angela
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wenn ich k! abschätze , also k!= 1*2*...*k > k!-1 Sorry aber ich bin glaub ich echt zu blöd für Mathe! nun habe ich den binomischen Lehrsatz auseinandergenommen und habe noch immer nichts gezeigt bezüglich der konvergenz und auch nichts bezüglich der Ungleichungen.
Ich verstehe das einfach nicht!!
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> wenn ich k! abschätze , also k!= 1*2*...*k > k!-1
Hallo,
diese Abschätzung ist doch nicht zielführend.
Wenn ich Deine Frage recht verstanden habe, ging es doch darum, daß Dir nicht klar ist, warum k!> [mm] 2^{k-1}, [/mm] oder habe ich Dich verkehrt interpretiert?
Also mußt Du doch über Zweien nachdenken.
Aus wievielen Faktoren besteht k! denn? und wieviele davon sind größer als 2?
> nun habe
> ich den binomischen Lehrsatz auseinandergenommen und habe
> noch immer nichts gezeigt bezüglich der konvergenz und
> auch nichts bezüglich der Ungleichungen.
Hmm??? Du schriebst doch, daß die Ungleichungen jetzt klar sind? Damit meintest Du gar nicht die Abschätzung?
Na gut, Du hast nun ja den binomischen Satz mit dem ausgeschriebenen Binomialkoeffizienten dastehen, und nun wirst Du mal gucken müssen, wie Du die beiden Ungleichungen daran gewinnbringend einsetzen kannst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Di 17.11.2009 | | Autor: | Mathegirl |
ich komme mit der aufgabe nicht klar. ich sitze schon den ganzen abend dran habe in der zeit ein ganzesanderes übungsblatt fertig, wo ich über den zusammenhang zwischen binomialsatz und konvergenz nachdenke..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 Di 17.11.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo mathegirl,
das wirkt inzwischen schon ziemlich verzweifelt.
Hallo an alle Hilfestellenden,
hat jemand Bedenken, wenn ich mal einen Teil des Nachweises [mm] a_n<3 [/mm] vorrechne?
So kommen wir doch auch nicht weiter.
Ich schreibe gerade noch eine andere Antwort, aber so ab etwa 23.30h würde ich
dann mal loslegen.
Liebe Grüße
reverend
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Hallo mathegirl,
hier mal ein vorsichtiger Anfang:
[mm] a_n=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n=\left(\bruch{n+1}{n}\right)^n=\bruch{1}{n^n}\summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}n^k
[/mm]
Soweit erstmal die Anwendung des binomischen Lehrsatzes. 
Jetzt suchen wir zwei Abschätzungen, nämlich nach unten und nach oben.
Die nach unten scheint offensichtlich. Man hätte sie auch schnell über vollständige Induktion gewinnen können: wenn [mm] \left(1+\tfrac{1}{n}\right)>1 [/mm] ist, dann ist es [mm] \left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n [/mm] auch. Oder, sofern für [mm] m,c>1 [/mm] die Aussage [mm] \wurzel[m]{c}>1 [/mm] bekannt ist, sogar noch schneller. Beides ist hier aber weder gegeben noch gefragt.
Welche der beiden gegebenen Ungleichungen brauchst Du also für die Abschätzung nach unten? Versuchs mal, man braucht eigentlich keine Tricks.
Die andere wird dann der Abschätzung nach oben dienen.
So, jetzt erstmal wieder Du. Versuch doch auch gleich mal die Abschätzung nach oben. Sie ist nicht schwerer.
lg
reverend
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Hallo reverend.
danke für deine Hilfe, aber die Aufgabe bringt mich mehr als nur zum Verzweifeln. :(
Die obere Abschätzung müste in dem Fall [mm] \bruch{n!}{(n-k)!}\le n^k [/mm] sein und die untere Abschätzung dann also [mm] \bruch{1}{k!} \le \bruch{1}{2^{k-1}}
[/mm]
stimmt das oder ist das genau anders herum? und wie kommt man bei der Summe auf die [mm] \bruch{1}{n^n} [/mm] die davorgeschrieben ist?
Danke nochmal für deine Hilfe.
Grüße
Mathegirl
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> Die obere Abschätzung müste in dem Fall
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!}\le n^k[/mm] sein und die untere Abschätzung
> dann also [mm]\bruch{1}{k!} \le \bruch{1}{2^{k-1}}[/mm]
>
> stimmt das oder ist das genau anders herum?
Hallo,
ich weiß nicht genau, was Du hiermit meinst. Diese Ungleichungen sind ja vorgegeben zwecks Verwendung beim Abschätzen des Ausdruckes [mm] (1+\bruch{1}{n})^n.
[/mm]
> und wie kommt
> man bei der Summe auf die [mm]\bruch{1}{n^n}[/mm] die
> davorgeschrieben ist?
Man hat
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n= (\bruch{n+1}{n})^n=\bruch{(n+1)^n}{n^n} =\bruch{1}{n^n}*(n+1)^n
[/mm]
Für [mm] (n+1)^n [/mm] hat der reverend dann den binomischen Satz verwendet.
Ich selbst würde fürs weitere Vorgehen den Stand bevorzugen, den Du schonmal hattest:
[mm] (1+\bruch{1}{n})^n=\summe_{k=0}^{n} \bruch{\red{n!}}{\red{(n-k)!}\cdot{}k!\cdot{}n^k} \le [/mm] ...
Nun sollte Dir doch mithilfe einer der beiden Ungleichungen, die Du oben nennst , eine erste Abschätzung nach oben einfallen.
Was steht denn dann da?
Danach kann man weiterüberlegen und -probieren. (Ein wenig Vertrautheit mit der geometrischen Reihe wäre sicher nicht von Nachteil.)
Zur Abschätzung nach unten: schreib die Summe [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{(n-k)!\cdot{}k!\cdot{}n^k} [/mm] mal aus, dann siehst Du doch, warum sie größer als 1 ist.
Gruß v. Angela
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[mm] (1+\bruch{1}{n})^n=\summe_{k=0}^{n}= \bruch{n!}{(n-k)!*k!*n^k}\le n^k
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}= \bruch{n!}{(n-k)!*k!*n^k}\le n^k
[/mm]
Die Abschätzung nach unten muss dementsprechend [mm] \summe_{k=0}^{n}\le \bruch{1}{2^{k-1}} [/mm] sein.
wenn ich das umforme komme ich zu ganz wirren ergebnissen, bzw gar keinem ergebnis:
[mm] \summe_{k=0}^{n}= \bruch{n!}{(n-k)!*k!*n^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}= \bruch{1*2*...*n}{(n-k)!*(1*2....*k)*n^k} [/mm] Und da weiß ich nicht was ich daher erkennen soll.
Mathegirl
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Hallo mathegirl,
> [mm](1+\bruch{1}{n})^n=\summe_{k=0}^{n}= \bruch{n!}{(n-k)!*k!*n^k}\le n^k[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}= \bruch{n!}{(n-k)!*k!*n^k}\le n^k[/mm]
Was will das heißen? Was summierst Du da gerade? Ich bin auch schreibfaul, aber hier kann ich Deiner abgekürzten Schreibweise nicht folgen. Wie kommt denn auf einmal der Summationsindex k auf die rechte Seite? Welche Abschätzung ist das?
> Die Abschätzung nach unten muss dementsprechend
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\le \bruch{1}{2^{k-1}}[/mm] sein.
Neinneinnein.
Du brauchst beide gegebenen Ungleichungen für die Abschätzung nach oben!
> wenn ich das umforme komme ich zu ganz wirren ergebnissen,
> bzw gar keinem ergebnis:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}= \bruch{n!}{(n-k)!*k!*n^k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}= \bruch{1*2*...*n}{(n-k)!*(1*2....*k)*n^k}[/mm]
> Und da weiß ich nicht was ich daher erkennen soll.
Kann es sein, dass Du mit der Summenschreibweise nicht klar kommst?
Hast Du meinen Link mal verfolgt? Da ist es doch genau vorgerechnet, mit genau den beiden Abschätzungen, die Dir auch vorliegen.
lg
reverend
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