konvergenz von teilfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | sei [mm] (a_{n}) [/mm] reelle folge.
zeigen Die: [mm] (a_{n})\to [/mm] a* [mm] \gdw [/mm] alle teilfolgen [mm] ((a_{n})_{k}), [/mm] k [mm] \in \IN [/mm] konvergieren gegen a* |
wie beginne ich hier. wenn ich mal mit "=>" anfange, hätte ichs so mal probiert: [mm] (a_{n})\to [/mm] a* impliziert, dass [mm] (a_{n}) [/mm] konvergiert, also beschränkt ist. nach bolz.-weierstrass folgt, dass [mm] (a_{n}) [/mm] eine konvergente teilfolge besitzt. wie zeige ich aber jetzt, dass alle teilfolgen konvergieren, und zwar alle gegen a*? danke für die hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:31 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> sei [mm](a_{n})[/mm] reelle folge.
> zeigen Die: [mm](a_{n})\to[/mm] a* [mm]\gdw[/mm] alle teilfolgen
> [mm]((a_{n})_{k}),[/mm] k [mm]\in \IN[/mm] konvergieren gegen a*
> wie beginne ich hier. wenn ich mal mit "=>" anfange,
> hätte ichs so mal probiert: [mm](a_{n})\to[/mm] a* impliziert, dass
> [mm](a_{n})[/mm] konvergiert, also beschränkt ist. nach
> bolz.-weierstrass folgt, dass [mm](a_{n})[/mm] eine konvergente
> teilfolge besitzt. wie zeige ich aber jetzt, dass alle
> teilfolgen konvergieren, und zwar alle gegen a*? danke für
> die hilfe
Nimm dir ein Konvergenzkriterium, zum Beispiel:
Für alle [mm] $\varepsilon>$ [/mm] gibt es ein $N>0$, sodass [mm] $|a_n [/mm] - [mm] a^\ast|<\varepsilon$ [/mm] für alle $n>N$. Jetzt nimm eine Teilfolge [mm] $a_{n_k}$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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ja dann kann ich also so formulieren:für alle $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ gibt es ein $ N>0 $, sodass $ [mm] |a_{nk} [/mm] - [mm] a^\ast|<\varepsilon [/mm] $ für alle $ k>N $.
aber ich denke das muss ich doch erst noch beweisen oder?wie? genügt es eigentlich nicht, zu sagen: in jeder umgebung von a* liegen fast alle glieder $ [mm] (a_{n}) [/mm] $ , das sind aber auch alle glieder von [mm] a_{nk}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ja dann kann ich also so formulieren:für alle
> [mm]\varepsilon>0[/mm] gibt es ein [mm]N>0 [/mm], sodass [mm]|a_{nk} - a^\ast|<\varepsilon[/mm]
> für alle [mm]k>N [/mm].
Nicht ganz, aber weil es eine Teilfolge ist, weisst du, dass [mm]|a_{nk} - a^\ast|<\varepsilon[/mm] für alle [mm] $n_k [/mm] > N$. Du musst also nur den Schritt von [mm] $n_k>N$ [/mm] zu $k>M$ machen.
> aber ich denke das muss ich doch erst noch beweisen
> oder?wie? genügt es eigentlich nicht, zu sagen: in jeder
> umgebung von a* liegen fast alle glieder [mm](a_{n})[/mm] , das sind
> aber auch alle glieder von [mm]a_{nk}?[/mm]
Das ist ja dasselbe.
Viele Grüße
Rainer
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