konvergenzkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Fr 30.12.2005 | | Autor: | alohol |
hi leute, ich hab da ne frage:
[mm] {\bruch{n^5}{4^n}}
[/mm]
welches konvergenzkriterium muss ich benutzen um die absolute konvergenz zu zeigen?
[mm] {\limes_{n\rightarrow\infty} {\bruch{n^5}{4^n}}} [/mm] =0
das ist ja die notwendige bedingung.
Wie gehts jetzt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Fr 30.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo alohol!
Hier kommst Du z.B. mit dem Wurzelkriterium oder mit dem Quotientenkriterium ziemlich schnell zum Ziel.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:33 Fr 30.12.2005 | | Autor: | alohol |
kool und wie geht das mit dem wurzelkriterium?
kannst du mirmal bitte beide zeigen?
bitte sehr
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Sa 31.12.2005 | | Autor: | Pi3141 |
Hi, Alohol
Für das Quotientenkriterium musst du für die Folge nachrechnen, dass gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{a_{n+1}}{a_n}<1
[/mm]
Für deine Folge rechnet man das dann so:
[mm] \bruch{(n+1)^5/4^{n+1}}{n^5/4^n}=\bruch{(n+1)^5 * 4^n}{4^{n+1} * n^5}
[/mm]
Wir wollen nun [mm] 4^n [/mm] mit [mm] 4^{n+1} [/mm] kürzen, sowie alles, das hoch 5 genommen wird zusammenziehen.
[mm] \bruch{(1/n + 1)^5}{4}
[/mm]
Wie leicht zu sehen ist, wird das tatsächlich kleiner als 1. (Grob überschlagen lange vor dem Wert 42 
Für das Wurzelkriterium müsstest du zeigen, dass:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a_n}<1
[/mm]
Das läuf dann auf das folgende hinaus: [mm] \wurzel[n]{\bruch{n^5}{4^n}}=\bruch{\wurzel[n/5]{n}}{4}, [/mm] das auch mal kleiner als 1 wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:59 Sa 31.12.2005 | | Autor: | alohol |
die umformungen sind klar ...
aber muss der wert nicht immer kleiner 1 sein?
bei n=1 ist der wert 8 also größer 1....
oder hab ich da was falsch verstanden?
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> die umformungen sind klar ...
>
> aber muss der wert nicht immer kleiner 1 sein?
> bei n=1 ist der wert 8 also größer 1....
>
> oder hab ich da was falsch verstanden?
Naja,
zu zeigen ist doch nur, daß [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] bzw. [mm] $\sqrt[n]{a_n}$ [/mm] irgendwann kleiner wird als 1 und dann auch dauerhaft kleiner 1 bleibt und auch nicht gegen 1 geht.
Das stellt die Konvergenz der Reihe sicher.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:29 Sa 31.12.2005 | | Autor: | alohol |
axooooo ich hab verstanden.
ich dachte es muss von anfang an kleiner 1 sein..
ich kann die umformung mit der wurzel nicht ganz nachvollziehen könntest du mir bitte das mal erklären bitte.
ne frage: könnte man das auch mit dem majorantenkriterium machen?
wie funktioniert das eigentlich, ?
wie findet man die majoraten bzw minorante?
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Wie war noch gleich die Folge?
[mm] $\frac{n^5}{4^n}$...
[/mm]
ok...
[mm] $\sqrt[n]{\frac{n^5}{4^n}}=\frac{\sqrt[n]{n}^5}{4}$, [/mm] das aber geht gegen [mm] $\frac{1}{4}$, [/mm] da [mm] $\sqrt[n]{n}$ [/mm] gegen 1 geht...
Das Maiorantenkriterium funktioniert wie folgt: Du findest einfach eine Reihe, die auf Dauer immer größere Summanden im Betrag als diejenige hat, die Du gerade bearbeitest, aber trotzdem konvergiert.
Dann bleibt Deiner Reihe (wegen Monotoniekriterium!) nichts anderes übrig, als auch (sogar absolut) zu konvergieren.
Auf Dauer, aber das müßte man nachrechnen, wäre z.B. [mm] $\frac{1}{n^2}$ [/mm] eine Maiorante für Deine Reihe.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:48 Sa 31.12.2005 | | Autor: | alohol |
$ [mm] \sqrt[n]{\frac{n^5}{4^n}}=\frac{\sqrt[n]{n}^5}{4} [/mm] $
das ist mein problschem ichkann das nicht ganz nachvollziehen wie das geht...
zur majorante...
ich muss also eigentlich nur eine folge finden die größer als miene zu bearbeitende ist und zeigen dass die majorante konvergiert und durch die monotonie meiner reihe mit der majorante konvergiert auch die von mir zu bearbeitende reihe...
und gibts da tricks oder so, wie man eine majorante oder minorante findet?
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Hallo nochmal
> [mm]\sqrt[n]{\frac{n^5}{4^n}}=\frac{\sqrt[n]{n}^5}{4}[/mm]
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> das ist mein problschem ichkann das nicht ganz
> nachvollziehen wie das geht...
das ist einfach anwenden der Rechenregeln für Potenzen unter der Beachtung, daß [mm] $\sqrt[n]{b}=b^{\frac{1}{n}}$ [/mm] gilt...
>
> zur majorante...
>
> ich muss also eigentlich nur eine folge finden die größer
> als miene zu bearbeitende ist und zeigen dass die majorante
> konvergiert und durch die monotonie meiner reihe mit der
> majorante konvergiert auch die von mir zu bearbeitende
> reihe...
naja, die Begründung ist so nicht ganz richtig... wollte nur andeuten, wie der Beweis dazu funktioniert
> und gibts da tricks oder so, wie man eine majorante oder
> minorante findet?
Da ist mir nichts allgemeingültiges bekannt, oft ist das bloß Intuition...
Gruß,
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:57 Sa 31.12.2005 | | Autor: | alohol |
nadann
ich bedanke mich
gute nacht
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